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南京大学2008年数学分析考研试题 一 设为上的周期函数，且，证明恒为0。 二 设定义在上的二元函数关于，的偏导数均恒为零，证明为常值函数。 三 设为上的一致连续函数，且，， 问：是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 四 是否存在区间上的数列，使得该数列的极限点（即聚点）集为，把极限点集换成，结论如何？请证明你的所有结论。 五 设为上的非负连续函数，且，问是否在上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 六 计算由函数和的图像在平面上所围成区域的面积。 七 计算积分。 八 计算积分，其中为如下区域： ， 为正常数。 九 设，，证明：级数是收敛的。 十 方程在附近决定了隐函数，求的值。 十一 求函数在约束条件，下的极值，并判断极值的类型。 十二 设，且，证明：。 十三 设为上的连续函数，且对任意正整数，均有 ， 证明：为常值函数。 南京大学2008年数学分析考研试题解答 一 证明 设的周期为，，则有，由条件知， ， 结论得证。 二 证明 因为，， ，在上连续，对任意，有 ， 所以，即为常值函数。 三 解 未必为连续函数。 反例：， 在上连续，又，所以在上一致连续， ， 显然在上不连续。 四 解（1）存在。取中的有理数形成的点集，则有。 （2）不存在。 假若存在，使得，由于是闭集，而为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。 五 未必有在上有界，未必有。 六 解 显然两曲线的交点横坐标为，， 。 七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。 由， 。 八 解 十 解 ， ， 。 十一 解 ， ， ， ， ， 。 十二 证明 ， ， ， 于是， ， ， ， ， 故有。 十三 证明 作函数，是周期为的偶函数， 当时，，则在上连续，在可积。 ， ， ， ， ， 在中收敛于， ， ， ， 由在上连续，知， 即得，在上为常值函数。 南京大学2009年数学分析考研试题 1 开区间内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。 2 若级数收敛，则是否有收敛，是请证明；否请举反例。 3 设，求。 4 求。 5 若函数在上可导，则是否一定有界，是请证明；否请举反例。 6 函数连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。 7 函数在上有二阶导数，，，， 求证：，。 8 函数是一个函数，，计算 。 9 计算，其中是八分之一球面 ， 方向朝外。 10 、已知是上有界变差函数，求证：， 其中是的傅里叶系数。 南京大学2009年数学分析考研试题解答 1 解 尽管中的有理数的个数是可数的，但中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下： （1）由于中无最小的有理数，也无最大的有理数； （2）用反证法，假若中的有理数按由小到大的顺序排成了一列 ， 中应没有有理数了，而中仍有有理数，矛盾。 2 解 由级数收敛，未必退出收敛。 反例：设， 显然收敛，但发散。 3 解 设 则有， ， 由夹逼定理，知 。 4 解 。 5 解 由在上可导，即在上存在， 但未必在上有界。 反例：， ， 在上无界。 6 证明 不妨设是的唯一的极小值点，则存在，当时，有 ， 我们要断言，对所有，。 用反证法，假若存在，使得， 不妨设，由连续函数的介值性，存在，使得， 在的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以是最小值，结论得证。 7 证明 由，知在上是上凸函数， 对任意，，有 ， 对，有 。 8 解 ， 。 9 解 ， 。 10 证明 是上有界变差函数， 所以在上可积， ， 所以， 对， 同理有 结论得证。 5