压轴大题突破练(直线与圆锥曲线).docVIP

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二) 1．如图，已知点A(1，2)是离心率为2)2的椭圆C：x2b2＋y2a2＝1(ab0)上的一点，斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合． (1)求椭圆C的方程； (2)△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． (3)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值． (1)解　由题意，可得e＝ca＝2)2，1b2＋2a2＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝2，c＝2， 所以椭圆C的方程x22＋y24＝1. (2)解　设直线BD的方程为y＝2x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)， 由y＝\r(2)x＋m，2x2＋y2＝4，)得4x2＋22mx＋m2－4＝0， 所以Δ＝－8m2＋640?－22m22， x1＋x2＝－2)2m，① x1x2＝m2－44.② 所以|BD|＝1＋?\r(2)?2|x1－x2|＝6)2·8－m2. 设d为点A到直线BD：y＝2x＋m的距离， 所以d＝|m|\r(3). 所以S△ABD＝12|BD|·d＝2)4·?8－m2?m2≤2，当且仅当8－m2＝m2，即m＝±2时取等号． 因为±2∈(－22，22)，所以当m＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为2. (3)证明　设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD， 则kAD＋kAB＝2)x1－1＋2)x2－1＝2)x1＋m－\r(2)x1－1＋2)x2＋m－\r(2)x2－1＝22＋m·x1＋x2－2x1x2－?x1＋x2?＋1，(*) 将(2)中①、②式代入(*)式， 整理得22＋m\f(x1＋x2－2x1x2－?x1＋x2?＋1))＝0， 即kAB＋kAD＝0(定值)． 2．在平面直角坐标系xOy中，动点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为4，设动点M的轨迹为曲线C.已知直线l与曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，向量m＝(2x1，y1)，n＝(2x2，y2)，且m⊥n. (1)若直线l过曲线C的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线l的斜率k的值； (2)△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 解　(1)由题意知，|MF1|＋|MF2|＝4|F1F2|＝23， 根据椭圆的定义，知动点M的轨迹是以F1(0，－3)，F2(0，3)为焦点，长轴长为4的椭圆， 设该椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)， 则a＝2，c＝3，∴a2＝4，c2＝3，b2＝a2－c2＝1， ∴曲线C的方程为y24＋x2＝1. 设l的方程为y＝kx＋3，由y＝kx＋\r(3y24)＋x2＝1，消去y得， (k2＋4)x2＋23kx－1＝0，Δ＝(23k)2＋4(k2＋4)0， 且x1＋x2＝3)kk2＋4，x1x2＝－1k2＋4. ∵m⊥n，∴m·n＝0， ∴4x1x2＋y1y2＝4x1x2＋(kx1＋3)(kx2＋3)＝(4＋k2)x1x2＋3k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)·－1k2＋4＋3k·3)kk2＋4＋3＝0，解得k＝±2. 即直线l的斜率k的值为±2. (2)①当直线AB的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝－y2. 由m·n＝0，得4x21－y21＝0，即y21＝4x21. 又A(x1，y1)在椭圆上， ∴214＋x21＝1， ∴|x1|＝2)2，|y1|＝2. ∴S△OAB＝12|x1|·|y1－y2|＝|x1|·|y1|＝1(定值)． 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k′x＋t. 由y＝k′x＋t，y24)＋x2＝1，消去y得， (k′2＋4)x2＋2k′tx＋t2－4＝0， Δ＝4k′2t2－4(k′2＋4)(t2－4)0， 且x1＋x2＝－2k′tk′2＋4， x1x2＝t2－4k′2＋4. ∵m·n＝0， ∴4x1x2＋y1y2＝0，∴4x1x2＋(k′x1＋t)(k′x2＋t)＝0， ∴(k′2＋4)x1x2＋k′t(x1＋x2)＋t2＝0， ∴(k′2＋4)·t2－4k′2＋4＋k′t·－2k′tk′2＋4＋t2＝0， 整理得2t2－k′2＝4. ∴S△OAB＝12·|t|\r(1＋k′2)·|AB|＝12·|t|·?x1＋x2?2－4x1x2＝4k′2－4t2＋16)k′2＋4＝4t2)2|t|＝1(定值)． 综上，△AOB的面积为定值． 3.如图，已知抛物线C：y2＝2px和⊙M：(x－4)2＋y2＝1，圆心M到抛物线C的准线的距离为174.过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线分别与⊙M相切于A、B两点，与抛物线C交于E、F两点． (1)求抛物线C的方程； (2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率； (3)若直线AB在y轴上的截距为t，求