参考多维导热问题的数值解原理.docVIP

第二章 多维导热问题 2.1 二维非稳态导热全隐格式的通用离散方程 三种二维坐标系中的网格系统见下图2-1。采用控制容积积分法导出的离散方程以二维直角坐标系下的为例，根据二维非稳态导热方程： （2.1） 取全隐格式，假设节点之间温度线性分布，界面上热流密度均匀分布。非稳态项积分： 扩散项积分： 源项积分： 上述结果整理成： （2.2） 其中各系数为： （2.2） ， ，， （2.3a） （2.3b） （2.3c） 仍然需要记住，式（2.3a）表示的是各节点之间的热导（热阻的倒数），分子上的、代表的是各控制容积面上的面积；在二维问题中，的乘积是控制容积的体积。代表的是控制容积的热惯性。由此可见，利用上述系数计算式的物理含义，很容易写出三维导热问题的离散化方程及它的系数。 对于圆柱轴对称坐标和极坐标，同样可以利用系数的物理含义写出各系数计算式，离散方程与式（2.2）相同。不过要注意，在圆柱轴对称坐标中，选用一个弧度角的范围，极坐标取垂直于纸面一个单位长度（1m）。这样三种坐标系下的离散方程的系数可以表示为表2.1以便于编写统一的计算程序。 二维导热问题中三种坐标系中系数的通用表达式 表2.1 坐标系 直角 圆柱轴对称 极坐标 通用表达式 东西坐标 南北坐标 半 径 1 东西尺度系数 1 1 东西节点间距 南北节点间距 东西导热面积 南北导热面积 控制容积体积 () () 上面得到的是计算域内内节点的离散化方程，对于边界节点，可以采用边界控制容积热平衡方程导出节点方程。 2.2 边界节点方程 第一类边界条件是给定边界上的温度值，所以求解区域是内接点方程组。 第二类边界条件给出的是边界上的热流密度，通常表示为 这样的表达在求解时还不能直接引入到节点上，需要根据能量守恒方程变换为 （2.4） 第三类边界条件为对流换热条件，已知参数为边界面上的对流换热系数和流体温度，表示为 同样需要经过变换后才能进行计算，一般变换成 （2.5） 容易看出，第二类和第三类边界条件根据上述表达可以用统一的方式（边界上的热流密度）离散，参见图2-2。对于P节点，若采用显格式并考虑有内热源： 整理后： （2.6） 其中： ，， ， ， ， （2.7） 若采用隐格式离散方程为： （2.8） 方程中的系数与上相同。 这样，对于第二类边界问题，边界面上的温度被排除在外，待计算完毕后通过插值方式获得。对于第三类边界条件，容易看出，从流体到P节点的传热热阻有两部分组成，半个控制容积的导热热阻和边界面上的对流换热热阻，即边界上的热流为： （2.9） 同样可以将边界面上的温度排除在外，最后才插值计算获得。 上述处理结果，使得内节点和靠近边界的节点的代数方程取得了相同的形式，只不过靠近边界的节点方程相应有一个系数为0。 2.3 代数方程的求解方法 求解线性方程组的两类方法是直接求解和迭代求解，直接求解是通过一次计算来获得代数方程的精确解，但计算工作量特别大；迭代计算是将计算分成许多轮次，每次计算量减少，只要迭代方式组织合理，可以获得比直接解法更好的经济性，在计算流体力学和传热学中经常采用这种方式，尤其在节点数很大时，即使收敛慢的迭代方法也可能比消元法更加有效。 在迭代计算中有两个问题，一是迭代的收敛性问题；其次是如何加快迭代速度问题。一般对如导热这一类问题，迭代收敛条件为 （2.10） 由于采用有限容积法生成的离散方程，这一条件上述条件一定是满足的。 常用的迭代方