双曲线(高轮提升练习).docVIP

一、选择题 1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2　　　　　　　　　　B．2 C．4 D．4 解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4. 答案：C 2．(2012·烟台模拟)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　) A.－y2＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 解析：椭圆＋y2＝1的焦点为(±，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A、C.又双曲线－y2＝1经过点(2,1)． 答案：B 3．已知双曲线－＝1(a0，b0)的一个顶点与抛物线y2＝20x的焦点重合，该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为(　　) A．±2 B．± C．± D．± 解析：由抛物线y2＝20x的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线－＝1的顶点坐标为(5,0)，即得a＝5，又由e＝＝＝，可解得c＝，则b2＝c2－a2＝，即b＝，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝±＝±. 答案：C 4．设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，·的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4， SPF1F2＝|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1，－y＝1，x＝3(y＋1)＝6，·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3. 答案：B 5．(2012·杭州模拟)已知双曲线C：－＝1(a，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C．2 D．3 解析：设H(x，y)如图，OH：y＝x，HF2：y＝－(x－c)， 由解得H(，)， 所以HF2的中点为M(，)，代入双曲线方程整理得：c2＝2a2，所以e＝. 答案：A 二、填空题 6．(2011·潍坊模拟)双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________． 解析：由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝. 答案： 7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________． 解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5. x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图像的对称轴为x＝，当x＝1时，·取得最小值－2. 答案：－2 三、解答题 8．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程． 解：设双曲线的标准方程为－＝1(a0，b0)， 由题意知c＝3，a2＋b2＝9， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有： 两式作差得： ＝＝＝， 又AB的斜率是＝1， 所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得 a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程是－＝1. 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0； (3)求F1MF2的面积． 解：(1)e＝，可设双曲线方程为x2－y2＝λ. 过点(4，－)，16－10＝λ，即λ＝6. 双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明　法一由(1)可知，双曲线中a＝b＝， c＝2.F1(－2，0)，F2(2，0)． kMF1＝，k MF＝. k MF1·k MF＝＝－. 点(3，m)在双曲线上，9－m2＝6，m2＝3. 故k MF1·k MF＝－1.MF1⊥MF2. ∴·＝0. 方法二：＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)， ·＝(3＋2)×(3－2)＋m2 ＝－3＋m2.M点在双曲线上，9－m2＝6，即m2－3＝0. ·＝0. (3)F1MF2的底|F1F2|＝4， F1MF2的高h＝|m|＝，S△F1MF2＝6. 10．设A，B分别为双曲线－＝1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝2， 一条渐近线为y＝ x. 即bx－2y＝0.＝. b2＝3双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方