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反常二重积分 一、无界区域上的二重积分 与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义． 定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在， 且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限 图1 都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即 == 否则，称发散． 对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式． 1． == 或 == 2． == 或 == 3． == 或 == 也可在极坐标系下计算 = = 定理一 设D是平面R2中无界区域， 在D上的可积函数的充分必要条件是在D上的可积. 定理 2 (比较判别法) 设D是平面R2中无界区域，, 是D上的函数, 在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且.那么 (1)当收敛时, 收敛; (2)当发散时, 发散. 推论 设D是平面R2中无界区域， 是D上的函数, 并且在D的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当足够大时, (c是常数),如果 α2, 则反常二重积分收敛; (2)当足够大时, (c是常数),如果 α≤2, 则反常二重积分发散. 例1 设=，计算 解 方法一 方法二 例2 计算二重积分，其中D是由曲线在第一象限所围成的区域． 分析：区域D是无界区域，且从下列图形可以看出，D是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一： = 图8.26 解法二：设，则 二、无界函数的反常积分 设D是平面R2中有界可求面积区域， P是的聚点, 是D(可能除P以外)上的函数, 在P的任何邻域内无界(P称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P的任何小区域, 在D - Δ上可积. 设 . 如果存在, 则称在D上可积, 这个极限也称为在D上的反常二重积分. 还是记作:, 即=. 当在D上可积时, 称收敛. 如果不存在, 我们还用这个记号, 也称为在D上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散. 与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理. 定理 3 设D是平面R2中有界区域， P(x0, y0)是D的聚点, 是D(可能除P以外)上的函数, 在P的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P的任何小区域, 在D - Δ上可积,那么 (1)当足够小时,(c是常数),如果 α2, 则反常二重积分收敛; (2)当足够小时, (c是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分发散. 例3 求. 解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: , 那么 当,, 当, 发散. 三、泊松积分 在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分 例4 计算． 解 ， 令，则 计算 1) ; 2) ; 3） 4) 5)设 ，问 取何值时，该广义积分收敛？