变化率与导数(解析).docVIP

第十一节变化率与导数、导数的计算 [知识能否忆起] 一、导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 三、导数的运算法则 1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； 3.′＝(g(x)≠0)． (理)4.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝(　　) A．0　　　　　　　　　B．E C．2e D．e2 解析：选C　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析：选A　依题意得y′＝1＋ln x，y′x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2. 3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　　) A．14 m/s2 B．4 m/s2 C．10 m/s2 D．－4 m/s2 解析：选A　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)． 4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 5．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 总结　　1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 利用导数的定义求函数的导数 典题导入 [例1]　用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2；　(2)y＝. [自主解答]　(1)因为＝ ＝ ＝＝2x＋Δx， 所以y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. (2)因为Δy＝－＝－， ＝－4·， 所以 ＝ ＝－. 由题悟法 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)计算导数f′(x0)＝li . 以题试法 1．一质点运动的方程为s＝8－3t2. (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s＝8－3t2， ∴