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圆柱坐标系下维非稳态导热微分方程
笛卡尔坐标系下三维非稳态导热微分方程为：
(a式)
如何得到圆柱坐标下的方程？有2种方法，一是按照类似笛卡尔坐标的方法，通过能量守恒及傅里叶定律得到（我还没推出来）；二是由笛卡尔坐标变换得到，ppt中为第二种方法。
以下给出变换过程：转换的目的是用消去xyz。
涉及多元复合函数求导，可参见同济版《微积分》(下)第80页例题9。
（b式） （c式）
怎么理解这个公式？表示某个式子对变量x求偏导，例如表示函数对变量x求偏导，不要被这种写法吓到。直角坐标时，xyz是基本未知量；圆柱坐标时，是基本未知量。它们是一一对应的，彼此可以互相表示对方。（b式）就是用表示x（当然，z跟x是不存在函数关系的，即，ppt上这么写只是为了形式上的对应。）
这个公式是怎么来的？涉及多元复合函数求导法则，见同济版《微积分》(下)第77页“情形2”，用一个简图来理解：假设有一个温度场函数，温度t是xyz的函数，把 看成中间变量，，
类似地，就有
（圆柱坐标下z跟直接坐标完全没有变化）
理解了b式子以后，我们发现这个式子中仍然含有x y，要进一步运算消掉x y：
，，，
求导得（如果忘了怎么求看《微积分》(上)）
上面两项代入b式，得
（d）
类似地，
上面两项代入c式，得
（e）
（d）（e）式实现了用取代x y的目的。
将(d)式代入(a式)中的项，得：
第2个等号是乘进去得到的。第3个等号用到了“乘积的求导”，看清楚对谁求导谁是变量。
将(e)式代入(a式)中的项，得：
于是，（a）式中的
（把①、②中的结果代进来，对应项消去或相加，即可得到该结果）
进一步处理，逆运用“乘积的求导”，可得：
于是有：
由直接坐标转换为圆柱坐标没多大意思，运算而已，我认为理解好直接坐标下的推导就可以了。
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