坐标系与曲线的极坐标方程教师.docVIP

第1讲 坐标系与曲线的极坐标方程 编制：马林勇 审核：赵志强 陆丽华 2014/12/21 【考点解读】 内容 要求 A B C 极坐标方程 √ 极坐标方程与直角坐标的互化 √ 【学习目标】 1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，理解极坐标系中直线、圆的方程，了解圆锥曲线的方程。 2．掌握曲线的直角坐标方程和极坐标方程的互化。 活动一：先独立完成，再阅读课本完善 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．  设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ. 又可得到关系式：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx. 2．直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 推导如下：如图所示，设直线l上任意一点为P(ρ，θ)，在△POM中，由正弦定理，得OPsin∠OMP＝OMsin∠OPM. 因为∠OMP＝π－α＋θ0，∠OPM＝α－θ， 所以直线l的极坐标方程是ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(*) (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线(如图①)； ρcos θ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线(如图②)； ρsin θ＝b表示过\a\vs4\al\co1(b，\f(π2))且平行于极轴的直线(如图③)． 3．圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 推导如下： 如图所示，设圆上任意一点为P(ρ，θ)， 在△POM中，由余弦定理，得 PM2＝OM2＋OP2－2OM·OPcos∠POM， 故圆的极坐标方程是 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ρ＝r表示圆心在极点，半径为r的圆(如图①)． ρ＝2rcos_θ表示圆心在(r,0)，半径为r的圆(如图②)； ρ＝2rsin_θ表示圆心在\a\vs4\al\co1(r，\f(π2))，半径为r的圆(如图③)． 活动二：基础自测 1.把点M的极坐标\a\vs4\al\co1(8，\f(2π3))化成直角坐标； (1)x＝8cos 2π3＝－4，y＝8sin 2π3＝43， 因此，点M的直角坐标是(－4,43)． 2.以B（8，π2）为圆心，且过极点的圆的极坐标方程。 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标． 解　ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得x2＋y2－2y＝0，x＝－1，)解得x＝－1，y＝1，)即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π4)). 4.若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2sin θ，它们相交于A、B两点，求线段AB的长． 解　法一　由ρ＝1，得x2＋y2＝1.又ρ＝2sin θ， 所以ρ2＝2ρsin θ.所以x2＋y2－2y＝0. 由x2＋y2＝1，x2＋y2－2y＝0，)得A\a\vs4\al\co1(\f(\r(312)，B\a\vs4\al\co1(－\f(\r(312)， 所以AB＝3. 法二　由ρ＝1，ρ＝2sin θ，得2sin θ＝1， 解得θ＝π6或θ＝56π. 所以点A、B的极坐标为A\a\vs4\al\co1(1，\f(π6))，B\a\vs4\al\co1(1，\f(56)π). 在△AOB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝23π，故AB＝3. 活动三:典型例题 考点一 直角坐标与极坐标的互化 【例1】 (1)把点M的极坐标\a\vs4\al\co1(－5，\f(π6))化成直角坐标； (2)把点M的直角坐标(－3，－1)化成极坐标(ρ0,0≤θ 2π)． (1)∵x＝－5cos π6＝－523，y＝－5sin π6＝－52，∴点M的直角坐标是\a\vs4\al\co1(－\f(532). (2