复变函数教案.docVIP

章节名称：引言和第一章 学时安排：6学时 教学要求：使学生掌握复数的概念，理解复数的几何意义及熟悉平面点集系列概念。 教学内容：复数及其代数运算；复数的乘幂与方根；平面点集；复变函数；复变函数的极限与连续 教学重点：复数几何意义及复变函数的极限与连续。 教学难点：理解扩充复平面的相关概念。 教学手段：课堂讲授 教学过程： 一、引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1，1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。 2，1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。 3，19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的。 4，20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。 5，复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系。其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较。 二、第一章 解析函数 §1、复数及其代数运算 1，复数概念： （1）称为复数； （2）称为复数的实部； 称为复数的虚部； （3）纯虚数：若称为纯虚数； （4）两个复数相等； （5）虚数不能比较大小。 （6）共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数。记的共轭复数为。 2，复数的代数运算： 设，， （1）加减法：； （2）乘法：； （3）除法：，； （4）共轭复数的运算： 1），，； 2）； 3）； 4）。 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律。 3，应用举例： 例1，设，，求； 例2，设， 求、 、； 练习：求的实部和虚部。 §2、复数的几何表示 1，复平面 （1）复数表示为复平面上的点 因为复数由一对有序实数唯一确定，从而复数全体与直角坐标平面上点的全体构成一一对应关系，所以，复数可以用复平面上的点来表示。 我们把直角坐标系中的X轴称为实轴，而把Y轴称为虚轴，把实轴和虚轴决定的平面称为复平面或Z平面。 下面我们利用复平面上的点对应的以原点为起点的向量来定义模和辐角的概念。 （2）复数表示为复平面上的向量 1)模的定义：显然，在复平面上，复数与从原点指向点的平面向量一一对应，因此复数能用向量表示。向量的长度称为的模或绝对值，记为 显然，；；；； ；； 2)辐角 在时，以正实轴为始边，以表示的向量为终边的角的弧度数称为的輻角，记为 任何一个复数有无穷多个輻角，如果是其中一个，则 给出了的全部輻角。 輻角主值：在的所有輻角中，满足的称为的主值，记作 （3）复数的三角形式和指数形式 称；分别为复数的三角形式和指数形式。 应用举例： 例1，将下列复数化为三角形式与指数形式 ； 例2，设为两个任意复数，证明： ； 练习题1：试将复数化为三角形式与指数形式。 练习题2：若，，试证：。 2，复球面 复数可以表示为复平面上的点及向量（几何表示）本节用复球面上的点来表示复数。 1）球面上的点，除去北极N 外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。 2）为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定： 复平面上有一个唯一的“无穷远点”，它与球面上的北极N相对应。相应地规定： 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并记作。 这样一来，球面上的每一个点，就有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面。 3）包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面或称复平面。 §3、复数的乘幂与方根 1，乘积与商 1）定理1两个复数乘积的模等于它们的模的成绩；两个复数成绩的輻角等于它们的輻角的和。 2）定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的輻角等于被除数与除数的輻角之差。 3）应用举例： 已知正三角形的两个顶点为，求它的另一个定点。 2，幂与根 1）棣莫弗公式： 2）方根公式： 3）应用举例：求 §4、区域 1，区域的概念： 1）邻域：平面上以为中心，（任意正数）为半径的圆：内部的点的集合称为的邻域，而称由不等式所确定的点集为的去心邻域。 2）内点：设G 为平面点集，为 G中任意一点，如果存在的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，那么称