多变量积分学.docVIP

多变量积分学 前言 正如定积分源于平面几何图形的面积计算一样，多元函数的积分学产生背景也是人类在认识自然的活动过程中所遇到的各种几何或物理问题。 例1：质量分布问题 1）平面图形上质量的分布： 设平面区域上分布有质量（密度非均匀），计算其质量。 首先将其抽象为数学问题，即进行数学化处理：将平面区域放在二维坐标系中，对应区域仍记为，设已知密度函数，求质量。 我们从最简单的情况出发，逐步得到一般情况下的公式。这是解决实际问题的一般程序。 i)、特殊情况 最简单、特殊的情形是均匀密度的质量分布，此时，故（为之面积）。 ii)、一般情况 现在设考虑非均匀密度的质量分布。设密度函数为，如何求质量？ 常规的思路：将一般、复杂的情形转化为简单、特殊的情形来处理。 方法：分割近似求和法。 具体过程： 1、分割：，则当分割很细时，（密度）在上变化不大，因而，可在上视为常密度的均匀质量分布，对应的质量块可由i)中的公式近似计算。 2、近似计算：任取，则，（这里也代表的面积），因而。 3：取极限：采用定积分思想，可设想：，为分割细度。 这样，平面上质量分布问题在数学上就是上述形式的二元函数的和式极限问题。 2）、空间区域的质量分布： 类似，在一个空间区域上密度非均匀的质量分布问题，也可表示为类似的上述极限问题：，其中，V是对应于3D坐标系下的空间区域，定义在V上为已知的密度函数，为分割后的第个小区域，，为分割细度。 数学上：空间区域的质量分布问题是三元函数的和式极限的问题。 3）：空间曲线（曲面）上的质量分布： 类似的方法，可以给出其他情况下质量分布的计算公式。 空间曲线的质量分布：； 空间曲面的质量分布： 上述问题的结果具有共同的实质，数学上，它们都是多元函数某种和式的极限问题。相似的问题还出现在几何问题中。 例2：计算空间区域V的体积V。 类似平面任意几何图形的面积的计算。将空间区域V放在3D坐标下，作其在面内的投影区域，以为准线，平行于轴的直线为母线作柱面，它与V有一条交线，通过作V 的表面分为上半部分和下半部分，则V的体积可转化为以为顶，以为底的曲顶柱体的体积减去以为顶，以为底的曲顶柱体的体积。因此，V 的体积的计算就转化为曲顶柱体体积的计算，为此，我们先计算如图曲顶柱体的体积。 已知曲顶所在的曲面方程为z=f(x,y),曲顶在xoy坐标平面的投影区域为，计算此曲顶柱体的体积V。 仍采用积分思想。由于与此相近的柱体的体积计算公式是已知的：底面积×高。故，可以通过分割近似求和来处理。 分割：； 对应曲面S有一个分割：，任取，对应的体积可用柱体体积来近似： ,故，这和平面区域上质量的分布计算公式具有相同特征。 由此可以看出：物理上和几何上都提出了在数学上实质相同的一类问题，把其具体的背景去掉，抽取其数学上的本质，进行研究，并作出相应的推广，就形成了相应的数学理论，这便是多元函数的积分学。 因此，上述质量问题用多元函数的积分表示为： -----二重积分 -----三重积分 ------第一类曲线积分 ------第一类曲面积分 还有一类物理问题产生更复杂的多元函数的积分类型。 例3：变力做功问题。 设质点在变力的作用下，从空间A点沿曲线移动到B点，计算变力的功。 已知常力作用在质点使之沿直线从A 点移动到B点，则做功为：，利用上述思想，可计算变力做功。 对路径曲线作分割,在每一小段上近似为常力做功，故 ， 记，且，则 ， 故， 这又是一种和式的极限，这种和式的极限也对应于一种多元函数的积分： 第二类曲线积分： 。 类似还可引入 第二类曲面积分：。 所有上述各种积分，就形成了多元函数积分学的主要内容，我们将逐次介绍以上各种积分的定义性质、计算方法和相互间的联系。 第十七章 重积分 本章介绍重积分的概念和计算，重点以二重和三重积分为例。 §1 二重积分 正如在定积分中，我们首先引入 常义定积分：即被积函数有界，积分区间有限。所谓区间有限，是指对应函数轴上的线段是可求长的，这在一维空间中是很明显的事实。在讨论二重积分时，也涉及到与定积分中线段的可求长的类似问题，即平面图形的面积可求性问题。事实上，正如我们引言中初步提出的那样，二重积分实际是如下和式的极限：，显然，取，（应存在），，因此，曲域的面积应该是可求的。 那么，一个平面有界区域的面积是否可求？用什么标准来衡量可求性，这是我们在介绍二重积分前应解决的问题。 一：平面区域的面积。 设是有界的二维平面区域，考虑其面积的可求性。