大工秋《应用统计》辅导资料十.docVIP

应用统计辅导资料十 主 题：第三章 随机变量的数字特征3—5节 学习时间：2013年12月2日－12月8日 内 容： 这周我们将学习第三章随机变量的数字特征3—5节，本章主要研究原点矩与中心矩、协方差与相关系数及切比雪夫不等式与大数定律。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、了解协方差和相关系数的概念 2、掌握协方差和相关系数的计算公式 3、了解各阶矩的计算公式 4、了解切贝谢夫（Chebyshev）不等式及其在理论上的价值 5、会用切贝谢夫不等式估计有关事件的概率 6、了解依概率收敛的概念及贝努利大数定律和切贝谢夫大数定律 基本概念：协方差和相关系数的概念、切比雪夫不等式、贝努利大数定律和切比雪夫大数定律 知识点：协方差和相关系数以及各阶矩的计算公式、大数定律 1、为方便理解，我们将主要概念及其性质总结如下： 协方差、相关系数与矩 协方差cov(X,Y) 定义 对于随机向量（X,Y），称E(X-EX)(Y-EY)为X与Y的协方差。 记作：cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] 计算公式 cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-E(X)·E(Y) 特别取X=Y时，有cov(X,Y)=。 若X与Y相互独立，则。 即D（X±Y）=D（X）+D（Y） 相关系数 定义 若随机向量(X,Y)的方差都不为零，称为X与Y的相关系数。 性质 1、当时，则称X与Y完全线性相关， 2、当时，则称X与Y不相关。 当时，称X与Y相互独立。 当X与Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)， 故cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0， 所以有，即X与Y必不相关。 反之，若X与Y不相关，则X与Y不一定相互独立。 矩 k阶原点矩 对于正整数k，称，k=1,2,……为随机变量X的k阶原点矩。 数学期望是一阶原点矩 k阶中心距 对于正整数k，称，k=1,2,……为随机变量X的k阶中心矩，方差是二阶中心矩。 切比雪夫不等式与大数定律 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望为EX，方差为DX，则任给ε0，有 表明不管X服从什么分布，只要知道它的期望和方差，对于任意的ε0，X落在区间（EX-ε,EX+ε）之外的概率不会大于；X落在区间（EX-ε,EX+ε）以内的概率不会小于 大数定律 依概率收敛 若存在常数a，使对于任给 ε0，有 则称随机变量序列依概率收敛于a，记 切比雪夫大数定律 设随机变量序列为相互独立，且存在 其中常数与无关。 则对于任何ε0，有 切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的，经过算术平均后的随机变量，将比较密集地聚集在它的数学期望的附近。当时，随机变量序列{}依概率收敛于其自身的数学期望，即 （因为相互独立，所以 ） 贝努利大数定律 设每次实验中事件发生地概率为P（0P1），n次重复试验中事件发生的次数为n，其频率 则有。即对任何ε0，有 贝努利大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 2、典型例题解析 题型1：求解随机变量的协方差、相关系数等 题型2：用切比雪夫不等式估计 例1、单选题：设(X,Y)为二维连续随机变量，则X与Y不相关的充分必要条件是（ ）（题型1） A、X与Y相互独立 B、E(X+Y)=E(X)+E(Y) C、E(XY)=E(X)E(Y) D、（X,Y）～N（ 答案：C 解题思路：因为E(XY)=E(X)E(Y)cov(X,Y)=0，即X与Y不相关。 注意，有X与Y相互独立能推出X与Y不相关，但反之不成立，不能选A。 D选项意味二维正态分布，X与Y不相关。但对一般二维随机变量而言，X与Y不相关推不出它是二维正态分布，故不能选D。 例2、单选题：设二维随机变量(X,Y)～N（0,0,1,1,0）,为标准正态分布函 数，则下列结论中错误的是（ ）（题型1） A、X与Y都服从N(0,1)正态分布 B、X与Y相互独立 C、cov(X,Y)=1 D、(X,Y)的分布函数是 答案：C 解题思路：由,得，且。 进一步可知X与Y相互独立， 从而(X,Y)得分布函数，因此不能选A、B、D。 由于，所以,C中结论错误，应选C。 例3、计算题：设随机变量X,Y相互独立，且X～B(16,0,5),Y服从参数为9的泊松分布，求D(X-2Y+1)。（题型1） 解：由，得 而由，知 则 例4、计算题：已知D(X)=25,D(Y)=1,=0.4，求D(X-Y)。（题型1） 解： 则 例5、计算题：已知随机变量X与Y相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布