大连理工大学至学学期计算方法期末考试试题A.docVIP

大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A 大连理工大学应用数学系 数学与应用数学专业2005级试卷 课 程 名 称：?计算方法???????授课院?(系)：?应 用 数 学 系 考试 日 期：2007年11?月??日??????试卷共??6??页 ? 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得??分 ?一、填空（每一空2分，共42分） 1．为了减少运算次数，应将表达式. 改写为_______； 2．给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为????????????????????????????， 用Simpson公式求得的近似值为????????????????????????????。 1．设函数，若当时，满足，则其可表示 为??????????????????????????????????????。 4．已知,则?????,????，逼近的Newton插值多项式为?????????????????????????????。 5．用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：???????????????????????????????。 6．已知，则的Jordan标准型是???????????????????； 7．设是阶正规矩阵，则?????????； 8．求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式） Euler法的显式化的格式为：?????????????????????????????????????。 ? 9．设12为的近似值，且，则至少有 ???????位有效数字； 10．将，化为的Householder矩阵为：??????????????； 11．??????????????； 12．用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为?????????，进行二步后根所在区间为?????????。 13．若为Newton-Cotes?求积公式，则?????????，若为Gauss型求积公式，则?????????。 14．设，则在Schur分解中，可取为?????????。 15．设，则???????????????,????????????。 二、（8分）已知近似值，，均为有效数字，试估计算术运算的相对误差界。???????????????????? 三、（15分）设线性方程组： （1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算?，，和； （2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？ （3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。 四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题，的数值方法 ①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间； ②要用此方法解，。为使方法绝对稳定，求出步长的取值范围并以，初值，为步长，求出的近似值。 五、（15分） （1）?用Schimidt正交化方法，构造上以权函数的正交多项式系：，，，; ??????（2）构造计算?具有5次代数精度的数值求积公式； （3）?利用2)的结果求出的数值解。 六、证明题（5分）任选一题 1．设均为可逆矩阵，且齐次线性方程组有非零解，证明：对于中的任何矩阵范数，都有。 2．??已知，求出，证明?收敛。 大连理工大学应用数学系 数学与应用数学专业2005级试A卷答案 课 程 名 称：?计算方法???????授课院?(系)：?应 用 数 学 系 考试 日 期：2007年11?月??日??????试卷共??6??页 ? 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得??分 ?一、填空（每一空2分，共42分） 1．为了减少运算次数，应将表达式. 改写为； 2．给定3个求积节点：，和，则用复化梯形公式计算积分求得的近似值为， 用Simpson公式求得的近似值为。 1．设函数，若当时，满足，则其可表示 为。 4．已知,则??6???,?0??，逼近的Newton插值多项式为。 5．用于求的根的具有平方收敛的Newton迭代公式为：。 6．已知，则的Jordan标准型是或； 7．设是阶正规矩阵，则； 8．求解一阶常微分方程初值问题，的向后（隐式） Euler法的显式化的格式为：。 ? 9．设12为的近似值，且，则至少有 ??5??位有效数字； 10．将，化为的Householder矩阵为：； 11．； 12．用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为，进行二步后根所在区间为。 13．若为N