实变函数教案ch附录介绍.docVIP

第十章 　附　 录 §10.1. R中Lebesgue测度的平移不变性及不可测集 定义1．设，．称 为E关于y的平移． 引理1．设，则 成立： (1) ；　　 (2) ； (3) ．，10题 ) (证略) 定理1. (测度的平移不变性)　 若E可测，则也可测，且 ． 证：， 11题知，E可测可测．Zermelo选择公理．对于集族，若每个，则 ，可选取元素 ． Lebesgue不可测集的构造： ，记 ． 结论：(i) 且 ． (ii) 当 ． 当 ，可取 ，则 ． 矛盾． ． 对上的集族，每个非空，可取，得集合． 下证F是不可测集． 为此，记 ，． (iii) 若 则 ． 假设 满足 ． 从而 ，且不为0，． 于是，，这样，包含两个不同的点和，与F的取法矛盾． (iv) ． 显然，． ，设 ，则 ． 由于 ． 从而 ． 有了以上准备，易证明F的不可测性．反证法．假设F可测，则也可测，且．但 互不相交，故 ， 即 ． 是常数，这不可能成立．所以，F 不可测．§10.2 有界变差函数与绝对连续函数 定义10.2.1. 实函数， 的分划， 记 ， 称 为 f 在分划下对应的变差． 若 ，则称为上的有界变差函数，记 ； 称 为在上的全变差； 称 ， 为的全变差函数． 定义10.2.2. 实函数．若对于上任意有限个互不相交的开区间，当 时，有 ，称为上的绝对连续函数(或全连续函数)． 定义10.2.3. 设 ， 称 　 ， 分别为在上的界； ； 而且　 于 ． §10.3 Riemann－Stieltjes 积分 定义10.3.1 设为上的单增函数，对应于的每个分划 ，记 ．设 f 在上的有界实函数，， 分别称为 f 关于与的　Darboux 上、下和，其中 ，． 记 ， ． 若 ，称之为在上关于的 Riemann－Stieltjes 积分，并称在上关于 R－S 可积，记为． 定理10.3.1. 的充要条件是，，分划，使得 ． 定理10.3.2. 若,则；并且，对于,对的任一分划，，以及在分划下的任一介点集 （其中 ）， 均有 ． 定理10.3.3. 设为上的有界单调函数，为上的有界单增连续函数，则 ． 定理10.3.4.（R－S 积分的基本性质） (1) 若 ， 并且 ． (2) 若 ，为常数，则， 并且 ． 说明 是一个线性空间． (3) 若 ，， 则 ． (4) 若 ，则 ，，并且 ． (5) 若 ，，则 ， 并且 ． (6) 若 ，为正常数，则， 并且 ． 定理10.3.5. 设 ，， ，则 （与的复合函数）． 定理10.3.6. 若 ，那么： (1) ；　　　　　　　(2) ，且 ． 定义10.3.2 设为上的有界函数，为上的有界单增函数．对应于的任一分划 ，任取介点集 ，作和 ，称它为关于与的Riemann－Stieltjes 积分和． 　　设 A为实常数，若 ，对于任一分划以及介点集，只要 ，就有 ，则记作 ． 定理10.3.7. 若与有公共的间断点，则 不存在． 定理10.3.8. (1) 若 存在，则 ，且 ． (2) 若 (a) ，或(b) ，且在上连续单增，则上式成立． 定义10.3.3 ，Jordan分解 ．若积分 ，存在，定义 ． ［注］在下述两种情形下，则上述积分必存在： (A) ，； (B) ，且 ． 定理10.3.9. 设，满足上述注的(A) 或(B)，为在上的全变差函数，则 ． 定理10.3.10. 设，，则 ．（分部积分法） 定理10.3.11. 若，为上有界单增函数， 则 满足 ． 定理10.3.12. 若在上单调， 且 ， 则 使得 ． 定理10.3.13. 若，为严格增加函数， 是的反函数，记 则 　　 ． （换元积分法） 定理10.3.14. 若，则，且 ． 定理10.3.15－10.3.16. 设，，为在上的全变差函数． 定义，，， 那么： (1) ，且 ； (2) ； ； (3) ． 定理10.3.17. 设在上有界，为上有界单增函数，则以下三条等价： (1) ． (2) 存在实常数具有下列性质：，存在的一个分划，使得对的任一加细及分划下的任一介点集，有 ． (3) ，存在的一个分划，对于的任一加细，均有 ． 定理10.3.18. 设，， 在上一致收敛于，则 　　 ． 定理10.3.19. 设，，于，且 使得 ，，那么 ，且有 ．