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一、曲线关于点或直线的对称 1、曲线f (x，y)＝0关于原点对称的曲线方程为f (－x，－y)＝0。 2、曲线f (x,y)＝0关于直线x轴的对称轴或方程为f (x，-y)＝0 3、曲线f (x,y)＝0关于y轴对称的曲线方程为f(-x,y)＝0 4、曲线f (x,y)＝0关于直线x＝a的对称曲线方程为f(2a－x,y)＝0 5、曲线f (x,y)＝0关于直线y＝b对称的曲线方程为f(x,2b－y)＝0 6、曲线f (x,y)＝0关于直线x+y+c＝0对称的曲线方程为f(-y－c,-x－c)＝0 7、曲线f (x,y)＝0关于直线x－y+c＝0对称的曲线方程为f(y－c,x+c)＝0 观察其本质，只需对原方程中x，y的位置用相应的式子代即可，如关于直线x＝a对称，当且仅当2a－x代替x，y不变。 二、应用时应确定的几个问题 1、确定自身对称还是他对称 例1：f(x)的定义域为R，则y＝f(x－1)与y＝f(1－x) 的图像关于______对称。 分析：注意到y＝f(x－1)可由y＝f(1－x)中用2－x代替x，y 不变得到，所以两曲线关于直线x＝1对称。 2、确定x，y的位置 例2：设函数y＝f (x)的定义域为R，且满足f (1－x)＝f(x+1)，则函数y＝f(x+1)的图像关于___________对称，函数y＝f(x) 的图像关于__________对称。 分析：对函数y＝f(x+1)而言，y＝f(1－x)为y＝f(x+1)中用-x代x而得，而f(1－x)＝f(x+1)则表明y＝f(x+1)与y＝f(1－x)为同一个函数，故y＝f(x+1)的图像关于y轴对称。 对函数y＝f(x)而言，应先把f (1－x)＝f (x+1)转化为f(2－x) ＝f(x)，故能确定x的位置用2－x代，而y不变，故y＝f(x)的图像关于直线x=1对称。 其实y＝f(x+1)可由y＝f (x)的图像向左平移1个单位而得。 3、确定点对称与轴对称 例3：已知函数y＝f(x)，x∈R，且对任意x值总有f(x)－f(2－x)=0，则y=f(x)的图象关于______对称。 分析：已知等式化为y＝f(2－x)，所以y=f (x) 的图像关于直线x=1对称。 三、对称条件的挖掘和运用 对一些对称问题的隐含条件应善于挖掘和应用，往往起到简化解题过程之效。 例4：已知定义在(-2,2)上的偶函数f(x)，当x≥0时f(x)是减函数，如果f(1－a) f(a)，求a的取值范围。 分析：f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，而x ≤0时f(x) 为减函数，故离对称轴越近函数值越大，反之亦然，故由f (1－a) f (a)可得|1－a| | a |，结合定义域-21－a2，-2 a 2解得：-1 a 1/2 。 只要明确了点、曲线对称变换的原理及题型特点，熟练掌握基本方法，对高考中的容易题或中等题就会迎刃而解，较难的题也能理清思路，抓住要点。 例1、 已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。 错解 由已知得 y2=-4x2-16x-12，因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+ ∴当x=-时，x2+y2有最大值 即x2+y2的取值范围是(-∞, 。 分析： 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由(x+2)2+=1得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1, ] 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 例2、 求函数y=的值域。 错解 将原函数变形得： (y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 当y=1时，①式化为 –3x=9,有解x=3; 当y≠1时，∵①式中x∈R ∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0 ，故25y2-20y+4≥0, 解这个不等式得y∈R 综上：原函数值域为：y∈R 分析： 没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。 事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为： y== 得 (y-1)x=2y+1 ∴y≠1 且x=≠-3 解得y≠1且y≠ ∴原函数值域为：y∈(-∞, )∪(,1)∪(1,+∞)。 大沥高中数学科组编 2003-10-8 第1期  在数学学习中，同学常遇到这样的情况：每个新学的知识点都懂，后面的习题也会做，但到了一章学完以后，不仅综合性的题不会做，甚