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5.1多边形（1） 学习目标： 了解四边形的概念。 理解四边形的内角和定理，会利用内角和定理进行计算。 理解四边形的外角和定理，会利用外角和定理进行计算。 　凸四边形：把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫凸四边形。如图（1）是凸四边形，下图（2）不是凸四边形。　　　　　　　 　　　　　　　　　　图（1）　　　　　　　　图（2） 　　我们只研究凸四边形和凸多边形。 　　3.多边形的对角线,四边形有两条对角线。如图，四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线。 　　类似地我们可以给出多边形对角线的概念，如图，五边形ABCDE中，AC，AD，BD，BE，CE是它的五条对角线。即=5（条）。 　　 同样，我们可以计算出六边形有=9（条）对角线（请同学们自己动手画图）……。我们可以得出n边形的对角线有条（n为正整数）。 　　4.四边形内角和定理：四边形内角和等于360°，（一条对角线将四边形分成两个三角形，由此推出四边形内角和为2×180°=360°）。　　　类似地我们可以得出五边形内角和为3×180°=540°，n边形内角和等于(n-2)·180°（即多边形内角和定理）。 　　四边形外角和等于360°，任意多边形的外角和也是360°（多边形内角和定理的推论）。 　　二、注意问题　　1、关于四边形的概念，可以仿照三角形，通过类比的分法来建立，但要注意的是，三角形的三个顶点确定一个平面，所以三顶点总是共面的，也就是说三角形一定是平面图形，但四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义加上“在同一平面内”这个条件。 　　2、三角形的三边确定后，三角形的形状就确定了，而四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变，四边形改变形状时，只改变某些角的大小，它的边长不变，周长不变，这正是四边形的不稳定性，但它仍是四边形，所以它的内角和不变。 　　三、例题分析：　　例1、四边形最多有几个钝角？几个直角？几个锐角，最少有几个钝角？几个锐角？ 　　分析：根据内角和定理来列举。 　　解：四边形中最多有三个钝角，四个直角、三个锐角，可以没有钝角和锐角。 　　假设有四个钝角，则它的内角和就大于360°，这和四边形内角和为360°矛盾，所以它最多有三个钝角，假设有四个锐角，则它的内角和又小于360°，故此也是错误的，最多只能有三个锐角。当然可以有四个直角，此时它是矩形（长方形），此时即没有钝角也没有锐角。 　　例2、已知四边形各内角之比为3:3:5:4，求四个内角。 　　分析：由四边形内角和定理知，四边形内角和为360°。依条件可设其内角为3x,3x,5x,4x,根据题意得：3x+3x+5x+4x=360°，解这个一元方程即可。 　　解：设四个内角分别为3x,3x,5x,4x， 　　则3x+3x+5x+4x=360°，x=24°, 　　∴3x=72°，5x=120°，4x=96°, 　　∴四边形各内角分别为72°，72°，120°，96°。 　　例3.四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，∠D的外角度数是75°，求∠A？ 　　解：由已知∠D的外角为75° 　　∴∠D=180°-75°=105° 　又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形内角和为360°） 　　∵∠A=∠B=∠C 　　∴3∠A+105°=360° 　　∴∠A=85° 　　答：∠A=85°。 　　例4、已知如图，在四边形ABCD中，∠B和∠C的平分线相交于点O，求证：∠BOC=(∠A+∠D） 　　分析：本题综合运用了三角形内角和定理，四边形内角和定理及角平分线等知识，通过等量代换及和，差计算证得结果。 　　证明：∵∠A+∠D+∠DCB+∠CBA=360°（四边形内角和定理）　　∴∠DCB+∠CBA=360°-(∠A+∠D）　　又∵∠1=∠DCB，∠2=∠CBA　　∴∠1+∠2=(∠DCB+∠CBA)=[360°-（∠A+∠D）]=180°-(∠A+∠D）　　又∵∠BOC+∠1+∠2=180°　　∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-[180°-（∠A+∠D)]=(∠A+∠D）　　即：∠BOC=(∠A+∠D)。 　　 5.1多边形（2） 1．多边形及其内角和：　　（1）n边形的内角和： 　　（2）多边形的外角和等于360°．　　（3）多边形的对角线：　　　　 ①从n边形的一个顶点作对角线有：（n-3）条；　　　　 ②n边形共有：条对角线。　　（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 例1.一个多边形除一个内角外，其余各角和为2210°，求这个内角的度数及多边形的边