平面向量数量积及运算律.docVIP

5.6平面向量数量积及运算律 利用定义求向量的数量积 例1．已知，，当（l）（2），（3）与的夹角为时，分别求与的数量积。 分析：已知与，求，只需确定其夹角，须注意到时，有和两种可能。 解：（1），若与同向，则， ∴ ； 若与反向，则， ∴ ， （2）当时，， ∴ ， （3）当与的夹角为时， . 小结：（1）对于数量积，其中 的取值范围是； （2）非零向量和，；（3）非零向量和共线的充要条件是 ． 向量性质描述的判断 例1．已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①； ②、反向 ③； ④ A．1 B．2 C．3 D．4 分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中∵，∴由及、为非零向量可得，∴或，∴且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②中若、反向，则、的夹角为，∴且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有．反过来，若，则以、为邻边的四边形为矩形，所以有，因此命题③是真命题．④中当但与的夹角和与的夹角不等时，就有，反过来由也推不出．故命题④是假命题． 答案：C 小结：（1）两向量同向时，夹角为0（或）；而反向时，夹角为（或）；两向量垂直时，夹角为．因此当两向量共线时，夹角为0或，反过来若两向量的夹角为0或，则两向量共线． （2）对于命题④我们可以改进为：既不是的充分条件也不是必要条件． 利用向量垂直证明平面几何垂直问题 例1． 如图，已知中，是直角，，是的中点，是上的一点，且. 求证：. 分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明. 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，则 . 所以 . 小结：用向量方法证明几何问题时，一般应把已知和结论转化成向量的形式，再通过相应的向量运算完成证明，不难发现，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题，利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。 判断四边形形状 例1、平面四边形中，，，，，且，判断四边形的形状． 分析：在四边形中可知，，故，两边平方后，根据题设可得四边形边长的关系，由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状． 证明：由四边形可知，（首尾相接） ，即 展开得 ， 同理可得 （1）－（2）得， ，，即，， 故四边形是平行四边形. 由此， 又，即 即 故四边形是矩形 小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度（模）和角有关． 如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边．如图所示，为等腰三角形，为底边的中点．设，，，， 故，命题成立. 求向量夹角的余弦 例1．设，则与的夹角的余弦值为＿＿＿＿＿． 分析：要求夹角需先求出的值。 解：，．把代入得．由 ，得于是． 小结：本题涉及了平面向量的数量积的概念，性质以及有关运算律，体现了较强的综合性． 向量垂直 例1、已知向量为相互垂直的单位向量，设 ，则 分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件． 解：由题设可知 ， ． 由，得 ， 即 ，得． 小结：解决本题时，应注意．另外，解本题时，也可利用向量的坐标表示求解，即 ，再运用向量垂直的充要条件求出m的值． 向量垂直的证明 例1．已知非零向量和夹角为，且，求证： ． 分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零． 证明：因为和夹角为，所以；又因为，所以，即，，即．因为，把代入上式消去得．所以． 小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积的有关知识解决问题． 向量垂直时的参数值 例1．已知 ，当时，求实数的值． 分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解． 解：，．，，即，※．把，代入※式，得 小结：通过向量垂直两向量的数量积为0，建立等式将向量问题转化为方程求解． 向量的夹角 例1、已知不共线向量，，，，且向量与垂直． 求：与的夹角的余弦值． 分析：由向量数量积定义知，所以需求之值．由已知得，从中可求得之值． 解：垂直， 根据向量数量积的运算律得 ，， ，即为所求． 小结：非零向量是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知，与夹角为，问当取何值时，与垂直，，由可求得． 向量数量积的运算 例1、已知向量为相互垂直的单位向量，，那么 分析：应先求出，再计算． 解：由已知