平面向量数量积的运算律.docVIP

第二章 平面向量 §2.4平面向量的数量积 第8课时 二、平面向量数量积的运算律 教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：? 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.? 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫ａ与ｂ的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当( = 0(时投影为 |b|；当( = 180(时投影为 (|b|. 4．向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1( e(a = a(e =|a|cos(； 2( a(b ( a(b = 0 3( 当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或 4(cos( = ；5(|a(b| ≤ |a||b| 二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ( b = b ( a 证：设a，b夹角为(，则a ( b = |a||b|cos(，b ( a = |b||a|cos( ∴a ( b = b ( a 2．数乘结合律：(a)(b =(a(b) = a((b) 证：若 0，(a)(b =|a||b|cos(， (a(b) =|a||b|cos(，a((b) =|a||b|cos(， 若 0，(a)(b =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(，(a(b) =|a||b|cos(， a((b) =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(. 3．分配律：(a + b)(c = a(c + b(c 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos( = |a| cos(1 + |b| cos(2 ∴| c | |a + b| cos( =|c| |a| cos(1 + |c| |b| cos(2， ∴c((a + b) = c(a + c(b 即：(a + b)(c = a(c + b(c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 三、讲解范例： 例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ( 5b垂直，a ( 4b与7a ( 2b垂直，求a与b的夹角. 解：由(a + 3b)(7a ( 5b) = 0 ( 7a2 + 16a(b (15b2 = 0 ① (a ( 4b)(7a ( 2b) = 0 ( 7a2 ( 30a(b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a(b = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b的夹角为(，则cos( = ∴( = 60( 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD中，，，= ∴||2= 而= ， ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋