平面空间两条直线.docVIP

高三数学（9.1 平面、空间两条直线）复习讲义 【知识点归纳】 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等 3．空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线、交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面、相交于直线 （平面外的直线）表示或 4平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：且且唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：不共线存在唯一的平面，使得 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：存在唯一的平面，使得 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：存在唯一的平面，使得 5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 6 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 7公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：． 8等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 9等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等 10空间两条异面直线的画法 11．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与是异面直线 12．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。 13．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作． 14．求异面直线所成的角的方法： 几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式 15两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义． 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线． 有且只有一条 【基础训练】 （1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件； （2）给出命题：①若A∈l，A∈α，B∈l ，B∈α，则 l α； ②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若lα　，A∈l，则Aα　④若A、B、C∈α