并行计算矩阵特征值计算.docVIP

9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中，经常会遇到求 n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵 A，如果数值 λ 使方程组 Ax=λx 即 (A-λIn )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为特征 值λ所对应的特征向量，其中In 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些 数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特 征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的 QR 方法及 一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。 乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n)， 且满足： │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为xi 。乘幂法的做法是：①取n维非零向量v0 作为初始向量；②对于k=1,2, …,做如下迭代：  直至 u  k ?1 ? ? uk uk =Avk-1 vk = uk /║uk ║∞ ? ε为止，这时vk+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向 ? 量x1 。若vk-1 与vk 的各个分量同号且成比例，则λ1 =║uk ║∞ ；若vk-1 与vk 的各个分量异号且成比 例，则λ1 = -║uk ║∞ 。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时 间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格 化操作，所以下述乘幂法串行算法 21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法 21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入：系数矩阵An×n ，初始向量v n×1 ，ε 输出：最大的特征值 max Begin while (│diff│ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for (1.3)b[i]= sum end for (2)max=│b[1]│ (3)for i=2 to n do if (│b[i]│max) then max=│b[i]│ end if end for (4)for i=1 to n do x[i] =b[i]/max end for (5)diff=max-oldmax , oldmax=max end while End 1.1.2 乘幂法并行算法 乘幂法求矩阵特征值由反复进行矩阵向量相乘来实现，因而可以采用矩阵向量相乘的数 据划分方法。设处理器个数为 p，对矩阵 A 按行划分为 p 块，每块含有连续的 m 行向量， 这里 m ? ?n / p? ，编号为 i 的处理器含有 A 的第 im 至第(i+1)m-1 行数据，(i=0,1, …,p-1)，初 始向量 v 被广播给所有处理器。 各处理器并行地对存于局部存储器中 a 的行块和向量 v 做乘积操作，并求其 m 维结果 向量中的最大值 localmax，然后通过归约操作的求最大值运算得到整个 n 维结果向量中的最 大值 max 并广播给所有处理器，各处理器利用 max 进行规格化操作。最后通过扩展收集操 作将各处理器中的 m 维结果向量按处理器编号连接起来并广播给所有处理器，以进行下一 次迭代计算，直至收敛。具体算法框架描述如下： 算法 21.2 乘幂法求解矩阵最大特征值的并行算法 输入：系数矩阵An×n ，初始向量v n×1 ，ε 输出：最大的特征值 max Begin 对所有处理器 my_rank(my_rank=0,…, p-1)同时执行如下的算法: while (│diff│ε) do /* diff 为特征向量的各个分量新旧值之差的最大值*/ (1)for i=0 to m-1 do /*对所存的行计算特征向量的相应分量*/ (1.1)sum=0 (1.2)for j= 0 to n-1 do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for (1.3)b[i]= sum end for (2)localmax=│b[0]│ /*对所计算的特征向量的相应分量 求新旧值之差的最大值 localmax */ (3)for i=1 to m-1 do if (│b[i]│localmax) then localma