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弦论和宇宙隐维的几何 丘成桐 今天要讲的，是数学和物理如何互动互利，这种关系在Calabi-Yau空间和弦论的研究中尤为突出。这个题目非出偶然，它正是我和Steve Nadis的新书《内空间的形状》的主旨。书中描述了这些空间背后的故事，个人的经历和几何的历史。 我写这本书，是希望读者透过它，了解数学家是如何看这世界的。数学并非一门不食人间烟火的抽象学问，相反地，它是我们认识物理世界不可或缺的工具。 现在，就让我们沿着时间－或更确切地、沿着时空－从头说起。 I. 黎曼几何学 一九六九年，我到了栢克莱念研究院。在那里我了解到，十九世纪几何学在高斯和黎曼的手上经历了一场翻天覆地的变化。黎曼的创见，颠覆了前人对空间的看法，给数学开辟了新途径。 几何的对像，从此不再局限于平坦而线性的欧几里德空间内的物体。黎曼引进了更抽象的、具有任何维数的空间。在这些空间里，距离和曲率都具意义。此外，在它们上面还可以建立一套适用的微积分，作为研究与分析的工具。 大约五十年后，爱因斯坦发觉包含弯曲空间的这种几何学，刚好用来统一牛顿的重力理论和狭义相对论，沿着新路迈进，他终于完成了著名的广义相对论。 在研究院的第一年，我念了黎曼几何学。它与我在香港时学的古典几何不一样，过去我们只会讨论在线性空间里的曲线和曲面。在柏克莱，我修了Spanier的代数拓扑、Lawson的黎曼几何 、Morrey的偏微分方程。此外，我还旁听了包括广义相对论在内的几门课，我如饥似渴地尽力去吸收知识。 课余的时间都呆在图书馆，它简直成了我的辨公室。我孜孜不倦地找寻有兴趣的材料来看。圣誔到了，别人都回去和家人团聚。我却在读《微分几何学报》上John Milnor的一篇论文, 它阐述了空间里曲率与基本群的关系。我既惊且喜，因为它用到了我刚刚学过的东西。 Milnor的文笔是如此流畅，我通读此文毫不费力。他文中提及Preissman的另一论文，我也极感兴趣。 从这些文章中可以见到，负曲率空间的基本群受到曲率强烈的约束，必须具备某些特定的性质。 基本群是拓扑上的概念。虽然，拓扑也是一种研究空间的学问，但它不涉及距离。从这角度来看，拓扑所描绘的空间并没有几何所描绘的那样精细。几何要量度两点间的距离，对空间的属性要知道更多。这些属性可以由每一点的曲率表达出来，这便是几何了。 举例而言，甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的几何，但它们的拓扑却无二样。同样，球面和椭球面几何迥异但拓扑相同。作为拓扑空间，球面的基本群是平凡的，在它上面的任何闭曲线，都可以透过连续的变动而缩成一点。但轮胎面则否，在它上面可以找到某些闭曲线，无论如何连续地变动都不会缩成一点。由此可见，球面和轮胎面具有不同的拓扑。 Preissman定理讨论了几何 (曲率) 如何影响拓扑 (基本群)，我作了点推广。在影印这些札记时，一位数学物理的博士后Arthur Fisher嚷着要知道我干了甚么。他看了那些札记后，说任何把曲率与拓扑扯上关系的结果，都会在物理学中用上。这句话在我心中留下烙印，至今不忘。 II. 广义相对论 狭义相对论告欣我们，时间和空间浑为一体，形成时空，不可分割。爱因斯坦进一步探究重力的本质，他的友人Marcel Grossman是数学家，爱氏透过他认识到黎曼和Ricci的工作。 黎曼引进了抽象空间的概念，并且讨论了其上的距离和曲率。爱因斯坦利用这种空间，作为他研究重力的舞台。 爱因斯坦也引用了Ricci的工作，以他创造的曲率来描述物质在时空的分布。Ricci曲率乃是曲率张量的迹，是曲率的某种平均值。它满足的比安奇恒等式，奇妙地可以看成一条守恒律。爱因斯坦利用了这条守恒律来把重力几何化，从此我们不再视重力为物体之间的吸引力。新的观点是，物体的存在使空间产生了曲率，重力应当看作是这种曲率的表现。 对历史有兴趣的读者，爱因斯坦的自家说辞更具说服力。他说：「这套理论指出重力场由物质的分布决定，并随之而演化，正如黎曼所猜测的那样，空间并不是绝对的，它的结构与物理不能分割。我们宇宙的几何绝不像欧氏几何那样孤立自足。」 讲到自己的成就时，爱因斯坦写道：「就学问本身而言，这些理论的推导是如此行云流水，一气呵成，聪明的人花点力气就能掌握它。然而，多年来的探索，苦心孤诣，时而得意，时而气馁，到事竟成，其中甘苦，实在不足为外人道。」 爱因斯坦研究重力的经历，固然令人神往，他的创获更是惊天动地。但是黎曼几何学在其中发挥的根本作用，也是昭昭然不可抹杀的。 半个多世纪后