弹簧质量阻尼模型.docVIP

弹簧-质量-阻尼系统 1 研究背景及意义 弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。 2 弹簧-质量-阻尼模型的建立 数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型 ，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提 。通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。 弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示， 图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图 其中，表示小车的质量，表示缓冲器的粘滞摩擦系数，表示弹簧的弹性系数，（t）表示小车所受的外力，是系统的输入即（t）=（t）,(t)表示小车的位移，是系统的输出，即（t）=(t)，i=1,2。设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中=1kg，=2kg，==100N/cm，=300N/cm，==3Ns/cm，=6Ns/cm。 由图2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对有： （2-1） 对有： （2-2） 3 建立状态空间表达式 令,则原式可化为： 化简得： （2-3） （2-4） 整理得： （2-5） 代入数据得： 则系统的状态空间表达式为 4 化为对角标准型 当系统矩阵A有n个不相等的特征根时，相应的有n个不相等的特征向量，所以有矩阵A的特征矩阵 根据矩阵论 线性变换得： 可以使用matlab进行对角标准型的运算，matlab作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab简化计算。 （1）求特征值与特征向量 A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5] B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5] C=[1 0 0 0;0 1 0 0] [P,J]=eig(A) 求得结果： P = 0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i -0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i 0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i -0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050 J = 0.3667 +21.5183i 0 0 0 0 0.3667 -21.5183i 0 0 0 0 1.8833 + 8.4864i 0 0 0 0 1.8833 - 8.4864i （2）P矩阵求逆 PN=inv(P) 求得结果： PN = 3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i 3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i -3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i 0.2886 - 0.0353i 0.5337