微积分典型例题.docVIP

补充知识 一、数列与其子列之间的关系 定义 从数列中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列的一个子数列，简称子列．记作 ：． 其中表示在原数列中的位置，表示在子列中的位置． 例如 ：奇数子列 ， 其中 显然． 下面的定理给出了数列与其子列之间的关系． 定理：对于数列， 的充要条件是对的任何子数列都有. (2) 的充要条件是的偶数子列和奇数子列满足 ． (3) 若单调，则的充要条件是存在一个子数列满足． 二、数列极限与函数极限的关系 定理2.18（Heine定理）的充要条件为： 对于任意收敛于的数列，都有． 常用结论：若，则。 例如：由，可以推出，等。 注（1）对于，，，，等情形，只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立． （2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论． （3）用该定理可以说明某函数极限不存在。 例如：证明不存在. 证明： 取， ， ，显然 ，, 但是，。 由Heine定理可知， 不存在． 三、求极限的一般方法 (1) 利用极限的四则运算法则. 往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等； (2) 利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等； (3) 利用等价无穷小量的性质； (4) 利用高阶无穷小量的性质； (5) 利用极限存在准则； (6) 利用重要极限； (7) 利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）； (8) 利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）； 思考题解答1.用定义证明。 证：，要使。 由于时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑，即，此时， 故只需使，即。 取，则当时恒成立。 由极限定义得 。 2、利用三角函数的周期性求极限 （1） （2） （3） ， 其中最后一步用了是无穷小量，是有界变量，乘积仍为无穷小量。 3、设，证明存在，并求其值。 证明：，进而，猜测， 用数学归纳法证明。假设时不等式成立，即，那么时， ，即不等式成立。 所以对任意自然数，都有，即单调增加。 由，得，解得，所以有界。 （或先观察，猜测，再用数学归纳法证明） 因此存在. 不妨设 ，在两端令得，，所以. 典型例题 已知存在，，求。 解：设，则，两边令，得， ，。 例2、（1）若，则_______,_______． （2）若，则_______,_______． （3）若在连续，且，则。 （4）已知，则_______,_______． 常用结论：（1）若，并且，则。 （2）若，，并且，则。 证明：（1）。 （2）。 解：（1），所以， （2），所以。 ，所以。 （3），由在连续得. （4）由得，，即，所以 从而，． 例3．若，讨论的间断点。 解：， 函数的间断点只能出现在分段点处。 在处，所以为跳跃间断点。 在处，，所以在连续。 总之，的间断点为。 例4. （1）已知，求。 （2）若，求。 （3）若，求。 解：（1）（方法一）由 ，得 ，从而。 （方法二）由极限与无穷小的关系得，，其中，从而， （2）由，得 ，所以 。 类似（1）的方法二留作练习。 （3）由，得，故。 类似（1）的方法二留作练习。 例5 、求极限． 解： ， 所以原极限等于1． 例6、 讨论函数在定义域内的连续性． 解： 因为在，为初等函数，所以在内连续． 在处， ，， 所以，从而在处连续， 因此函数在内连续． 例7 设 在处连续，求的值. 解： ， ， 所以. 例8 设 ，求 . 解： 因为， 所以 ， 可以得到 ， 又因为 ， 所以 ，故 . 例9 设在上连续且.证明至少存在一点，使得下式成立, . 证明：构造辅助函数，则 ， ， 若，只需取； 若和都不等于零，则二者一定异号, 由零点定理可得在在内至少存在一点， 使得成立. 例10 求极限. 解：由于； ， 所以 不存在. 例11 求极限 解: . 例12 求极限 . 解: . 例13 设，，，问数列的极限是否存在，若存在，求其值. 解: 由及，知. 假设对正整数，有，则有 ， 由归纳法知对一切正整数都有，即为单调递减数列， 又因为，即有下界，因此存在. 不妨设 ，则有 ，，所以.