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微积分论文 高等数学论文 浅谈微积分中的反例 　　摘要： 本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。 　　Abstract： This article lists Calculus common typical counter-examples and discusses the role of counter-examples in Calculus Teaching. On the one hand，the counter-examples can strengthen the concept and reveal connotation of the concept，it make student exactly grasp the relationship between the concepts，thoroughly understand the conditions of theorem. On the other hand it trains students reverse thinking，what is more it helps to develop the math skills of students. 　　关键词： 反例；微积分；函数；微分；积分 　　Key words： counter-examples; Calculus; function; Differential; Integral 　　 　　0引言 　　用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。 　　1连续、可导、可微问题 　　微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。 　　情形1 若函数f（x）在a连续， 则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。 　　反例：函数 　　f（x）=1，x?叟0-1，x0， 　　虽然f（x）=1在x=0处连续， 但f（x）在x=0处不连续。 　　情形2 可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。 　　反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等， 所以f（x）在x=0不可导。 　　情形3 函数f（x）在x=x0处可导， 则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。 　　反例：函数 　　f（x）=x，x为有理数0，x为无理数， 　　在x=0处可导，但在0点的任何邻域， 除0点外都不连续。 　　情形4 f（x）在x=x0处可导， 则f（x）在x=x0处是否有连续导数？ 　　反例：函数f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0处可导， 但导数不连续。 　　事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x≠0时，f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin 　　极限f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。 　　综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：可微?圳可导 连续 　　有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。 　　情形5 当f（x0）≠0时，由f（x）在x0可导不一定能推出f（x）在x0可导。 　　反例 ：函数f（x）= x，x∈[0，1]-x，x∈[1，2]，而f（x）=x，x∈[0，2]， 显然f（x）在x0=1处可导，但f（x）在x0=1处不可导。 　　情形6下面命题是否成立：若f（x）在（a，b）内可导，则在（a，b）内必定存在ξ，使得f′（ξ）=？ 　　事实上，举出这样的反例：f（x）=x，0 　　2可积问题 　　情形7若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则函数f（x）在区间[a，b]上也可积，且f（x）dx?燮f（x）dx，但其逆命题不成立，即当函数f（x）在区间[a，b]上可积时，函数f（x）在区间[a，b]上不一定可积。 　　反例：