2011届全国高中数学联赛江苏赛区初赛题.doc.docVIP

2011年高中数学联赛、填空题（本题满分分，每小题分） ． 答案：－8 2． 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 . 答案： 3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）． 答案： 4． 已知，则 ． 答案： 5． 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案： 6． 设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前 n项和等于 ． 答案： 7． 设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ． 答案：(0,2) 8． 设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中， 则 ． 答案：6 9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 ． 答案：4 10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围． 解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程， 得 因为，所以 12．设．若时，，且在区间上的最大值为 1，求的最大值和最小值． 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上单调递增， 故有，从而且． 若有实根，则， 在区间有即消去c，解出 即，这时，且． 若无实根，则，将代入解得． 综上． 所以，单调递减 故． 13．如图，P是内一点． （1）若P是的内心，证明：； （2）若且，证明：P是的内心． 证明：（1） 14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数． 证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数． 证明：设，其中p，q为互质的正整数，则． 设k为任意的正整数，构造， 则． 版权所有：高考资源网() 版权所有：高考资源网() A B C P