抽象数学A.docVIP

荆楚理工学院 2010—2011学年度第二学期期末考试 《抽象数学》试题一 一、填空题（每空3分，共30分） 1、有限半群是群的充分必要条件是 2、非空集合的 对变换的乘法构成的群，称为的一个变换群；有限集合的 作成的群，称为一个次对称群；若群的 则称为由元生成的循环群. 3、设是有限群的子群，则的阶和的阶之间的关系是 . 4、为的不变子群是指 ,群的中心是指 5、若环满足条件 则称为的整环；若环满足条件 ，则称为除环 6、设是可交换环的理想，若 ,则称是 的素理想 二、解答题（共70分） 1、当为素数时，为整数环的最大理想 （10分） 2、理想若包含原环的单位元，则必有 (10分) 3、当是素数时，剩余类环是域 (10分) 4、设是的不变子群，则存在，使得,且 (20分) 5、用置换的循环置换表示法，写出的所有元 (10分) 6、设，在中可以定义多少个等价关系？ (10分) 答案 一、名词解释（每空3分，共30分） 1、中消去律成立 2、若干个一一变换 所有置换对置换的乘法 每个元都是中某个元的“乘方” 3、 4、 5、无零因子，含单位元，可交换 非零，含单位元，不为0的元都可逆 6、 二、解答题（每小题6分，共70分） 1、当为素数时，为整数环的最大理想 （10分） 证明：设为素数，如果 则, 而, 即由于为素数， 所以，即使得 而 ， 所以 ， 从而 故为整数环的最大理想 2、理想若包含原环的单位元，则必有 (10分) 证明：是的理想 又,对,有 从而 3、当是素数时，剩余类环是域 (10分) 证明：显然，含有单位元，且是交换环 取 存在可逆元 是域 4、设是的不变子群，则存在，使得,且 (20分) 证明：设 显然是到的一个满射 是到的一个同态映射，即 又 = (或) 5、用置换的循环置换表示法，写出的所有元 (10分) 解：共有个，可分为5组 6、设，在中可以定义多少个等价关系？ (10分) 解： 2