振动和波动习题解答.docVIP

第5章 振动和波动 5-1 一个弹簧振子，，振幅，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度； (2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力； (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1） 设，则 当x=0.02m时，，所以 作旋转矢量图，可知： 5-2 弹簧振子的运动方程为，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。 解： 5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为 式中分别为两个弹簧的劲度系数，m为物体的质量。 解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为,弹簧2的伸长量为，则应有 当物体运动到平衡位置的位移为x处时，弹簧1的伸长量就为，弹簧2的伸长量就为，所以物体所受的合外力为 由牛顿第二定律得 即有 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为 振动的频率为 5-4 如图所示，U形管直径为d，管内水银质量为m，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。 解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至x时，振动系统所受回复力为： 振动角频率 振动周期 5-5 如图所示，定滑轮半径为R，转动惯量为J，轻弹簧劲度系数为k，物体质量为m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。 解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长，有： （1） 物体位于x位置时（以原点为重力势能零点）： 对上式两边求导： 从上式消去v，且将（1）式代入，得到 说明系统作简谐振动。振动周期为： 5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为k，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，物体质量为m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。 解：设任意时刻t，物体m离平衡位置的位移为x，速率为v，则振动系统的总机械能 式中C为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t求导得 于是 5-7 如图所示，质量为10g的子弹，以速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为，求振动的振幅。（设子弹射入木块这一过程极短） 解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒，设碰撞后子弹与木块共同以速度v运动，则有 然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅A可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有 5-8 如图所示，在一个倾角为的光滑斜面上，固定一个原长为、劲度系数为k、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为m的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。 解： 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为,则 平衡位置距点为： 以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为x处时，弹簧的伸长量就是,所以物体所受的合外力为 物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为 5-9 两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。 解：根据题意，两质点分别在和处相向通过，由此可以画出相应的旋转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为。 5-10 一简谐振动的振幅A = 24cｍ、周期T = 3s，以振子位移x = 12cm、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到x = -12cｍ处所需的最短时间。 解：依题意可得，，又由旋转矢量法可知 所以振动方程为： 质点运动到x = -12cｍ处最小相位变化为，所以需要最短时间为 5-11 如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为m = 1.0kg的物体B和C，此时弹簧伸长2.0cｍ并保持静止。用剪刀断连接B和C的细线，使C自由下落，于是B就振动起来。选B开始运动时为计时起点，B的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B的振动方程 (1)x轴正向向上； (2)x轴正向向下。 解：已知m=1kg,,可得 当以B的平衡位置为坐标原点，振动振幅为 由题意知，振动初速度 (1)x轴正向向上时： 振动方