教案—极限.docVIP

第一章 函数、极限、连续 §1.2极 限 ㈠ 数列极限 引例 引例：(割圆术) 中国古代数学家刘徽早在公元263年就用“割圆求周”（简称“割圆术”）的方法，算出。。。。。 图1-16 具体操作如下： 先把直径为1的圆分成六等分，求得内接正六边形的周长；再平分各弧求内接正十二边形的周长；这样继续割下去，就得到一个数列，若以表示其通项，则的值就是正边形的周长，见下表： 表2-1 序号 内接正多边形数（） 正多边形周长（） 1 6 3 2 12 3 3 24 3 4 48 3 5 96 3 6 192 3 7 384 3 8 768 3 9 1536 3 10 3072 3.141592106 11 6144 3.141592517 12 12288 3.141592619 13 24576 3.141592645 14 49152 3.141592651 15 98304 3.141592653 由该表可看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于圆的周长，这正如刘徽所说的，“割之弥细，所失弥少。，存在某一个常数，随着的无限增大，能无限接近于这一常数，这时称数列以为极限。 数列极限定义 数列——按自然数顺序排列成有序的无穷多个数，称为数列， 数列通常记作： 则数列展开为： 一般也简记作： 。 其中称为数列的一般项。我们所要研究的就是当无限增大时，数列的变化趋势。，数列：，当时，无限趋近于一个确定 的常数； ⑵ ，数列：，当时，数列无限趋近于一个确定的常数1； ⑶ ，数列：；当时，数列不趋近于一个确定的常数； ⑷ ，数列：，当时，始终在数+1和来回跳动，它不趋近于一个确定的常数。 数列极限定义 定义2.1：设数列：，若当时，若数列能无限趋近于某一个确定的常数，则称常数A为该数列当时的极限，并记作： 或 读作： “当趋于无穷大时，的极限等于”， 或 “当趋于无穷大时，趋于”。 由定义前述4个数列表示为： ⑴ ⑵ ⑶ 无极限； ⑷ 在之间跳动，无极限。 例1 求数列的极限。 解 由下表和图1-17可看出，当，无限趋近于1。 1 2 3 4 ．．． 10 ．．． 100 ．．． 2 1.5 1.333 1.25 ．．． 1.01 ．．． 1.001 ．．． 即 说明：① 应当注意，并不是任何数列都有极限。 ② 有极限的数列称为收敛数列； ③ 没极限的数列称为发散数列。 例2 写出下列数列，并判断数列是否有极限． ⑴　 　　⑵　　　 ⑶　 解： ⑴　　数列： ∵ 当时，， ∴ （收敛于1） ⑵　　数列： ∵ 当时，， ∴ （收敛于0） ⑶　　数列： ∵ 当时，， ∴ 无极限。 （发散的） 数列的一种特殊记法如下： 象前述出现的，，当时，。 对这类数列虽无极限，但有确定的变化趋势， 我们可以借用极限记法表示为： （发散的） 但一定要注意：该数列是发散的，只是我们为了研究问题方便借用极限的技法表示其变化趋势而已。 同理，数列数列，则可分别表示为： ㈡ 函数的极限 图7 个人所得税函数图 前面我们讨论了数列的极限，数列极限只是一种特殊的函数极限。它研究的是自变量取正整数且无限增大时函数的变化趋势。 下面我们来讨论一般函数的极限问题。 可按照自变量的两种变化趋势来讨论函数的极限。 时函数的极限 的含义 例1 ：考察函数当时的变化趋势。 由图1-18看出： ⑴ 当取正值且无限增大，函数无限趋近于常数 记作：，读作：“趋向于正无穷大” ； ⑵ 当取负值且绝对值无限增大，函数也无限趋近于常数 记作：， 读作：“趋向于负无穷大”； 以后当我们讨论“当时，函数的极限”，就是讨论“当自变量的绝对值无限增大时，函数的变化趋势”。（见如下定义） 时函数极限定义 定义2.2 ：设函数当无限增大时，即时，若函数无限趋近于一个确定的常数，那么就叫做函数当时的极限，记作： 或 由定义可知，上例中当时，函数的极限为0，即 。 几何意义 由图1-18可看出，曲线有两个分支： 右侧分支沿轴正向无限伸远时，越来越接近于直线（但永远不会相交）； 左侧分支沿轴负向无限伸远时，越来越接近于直线（但永远不会相交）； 于是，我们称直线为曲线的水平