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实验七 鲁磊 2009310200617 信息0903 实验目的：通过实验体会病态线性方程组的性态，了解求解病态线性方程组的方法． 实验内容：略 实验要求：略 实验结果： (1) 表1：维数为6时，各种方法求解结果 X 列主元高斯消去 Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 SOR迭代法 1 -1.38E+126 1.015291102 1.005944568 1 -2.97E+126 0.893253141 1.411384865 1 -3.96E+126 1.0996945 0.651950029 1 -4.65E+126 1.096644684 1.230526343 0.999999999 -5.17E+126 1.001351148 0.812691967 1 -5.58E+126 0.883023896 0.742477331 由上表可知：选择问题的维数为6时，列主元高斯消去法得到的结果最接近真实解。Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法得到的结果勉强接近真实解，但是Jacobi迭代法得到的解都不收敛。 (2) 表2：随着维数增大，系数矩阵的条件数 维数 1 2 3 4 5 条件数 1 19.28 524.05 1.55e+4 4.76e+5 数 6 7 8 9 10 条件数 1.49e+7 4.75e+8 1.52e+10 4.93e+11 1.60e+13 X 列主元高斯消去 Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 SOR迭代法 0.999999999 -1.46E+177 1.004150679 0.817206863 1.000000078 -3.41E+177 11.651532461 0.999998354 -4.78E+177 01.055118922 1.000014906 -5.81E+177 1.007399171 1.425763944 0.999929106 -6.63E+177 1.089457741 0.387533043 1.000194426 -7.31E+177 1.099933657 0.915519304 0.999681635 -7.87E+177 1.066475654 1.049274594 1.000307149 -8.34E+177 1.010142156 0.437812713 0.999838981 -8.75E+177 0.943830784 1.103669529 1.000035366 -9.11E+177 0.874909743 0.907936612 表4：维数为100时，各种方法结果的误差和 误差和 列主元高斯消去 Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 SOR迭代法 267209.777557574 NaN 4.24347992883721 27.7278287034027 求解病态矩阵的时候可以采用高精度运算，用双倍多倍字长，使得由于误差放大而损失若干有效数字位之后，还能保留一些有效位。也可以通过对原方程作某些预处理，降低系数矩阵的条件数。因为cond(aA)=cond(A),所以不能通过将每一个方程乘上相同的常数来达到这个目标，可考虑将矩阵的每一行和每一列分别乘上不同的常数，亦即找到可逆的对角阵D1和D2将方程组化为 D1AD2y=D1b，x=D2y 这称为矩阵的平衡问题，但是这样计算量比原问题本身要多。 附： Jacobi迭代法 function x=ykb(A,b,x0) M= 200; D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; N2=1; %迭代次数 while norm(x-x0)=0.1 x0=x; x=B*x0+f; N2=N2+1; if(N2=M) disp(Warning: N2迭代次数太多，可能不收敛！); return; end end N2 Gauss-Seidel迭代法 function x=gs_sde(A,b) n=size(A,1); x0=zeros(n,1); x=x0;N3=1;M=1000; dx=ones(n,1); while max(dx)0.1 x0=x; for i=1:n x(i,1)=(b(