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数值积分与 数值微分 习题课 一、已知，给出以这3个点为求积节点在上的插值型求积公式 解：过这3个点的插值多项式基函数为 故所求的插值型求积公式为 二、确定求积公式 的代数精度，它是Gauss公式吗？ 证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验 依次取，有 本题已经达到2n-1=5。故它是Gauss公式。 三、试应用复合梯形公式计算积分 要求误差不超过，并把计算结果与准确值比较。 解：复合梯形公式的余项为 本题， 本题余项为 要使，得 ，取 得于是有 检验： 四、证明 若函数，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong插值余项证明梯形求积公式的余项为 证明：不妨设一阶差商函数为，，有 由的任意性，可知一阶差商函数是连续函数。 由插值特点，显然有 线性插值的Newton余项公式为 故有 由 可知是变量在上的连续函数，而函数 在上可积，不变号，根据积分中值定理，存在，使 由差商性质，存在，使。所以 结论得证。 五、导出中矩形公式 的余项。 解：将在处进行泰勒展开 。对上式两边在上积分，有 中矩形公式的余项 六、设数值求积公式 , 代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式. 证:充分性. 设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数 余项为 由知代数精度至少为n-1 必要性. 设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式原式成立等号,特别地取 Lagrange插值基函数,有 因为 所以 故原式为插值型求积公式. 七、令P(x)是n次实多项式,满足 证明P(x)在开区间(a,b)中有n个实单根. 证明:因为，所以P(x)在[a,b]上至少有一个零点。若P(x)有k(1)个零点，i=1,2,…,k在[a,b]上，则有 ， 及，所以 若零点个数，有 矛盾，因此，即在[a,b]至少有n个零点,但P(x)是n次实多项式，故k=n。 八、已知点和，用该信息计算定积分。 解：记为关于节点的Hermite插值多项式： 所以有 误差为 九、验证Gauss型求积公式 求积系数及节点分别为 ，, ，。 解：因为上述Gauss型求积公式的代数精度为3，所以对进行检验即可 将如下两组分别代入，可知 满足方程。