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讲 授 内 容 备 注 第二十二讲 例15　设． 试证：与同时收敛，同时发散． 证 ，故或． 　　若，而 由判别法知，收敛． 从而由　　　 　　　　　 知　　与同时收敛． 　　若则 ，当时，有 而　　　发散 由比较判别法知　发散．于是发散． 同理　　　 而　　　发散． 所以　发散． 于是　发散． 综合，知，两个积分同时收敛，同时发散． 例16 讨论如下积分的敛散性： 1） 2） 3） 解 1）为非负函数的积分，用比较判别法． 由不等式 知　时，　积分　收敛． 从而　收敛． 若　时，积分发散， 由例16知　发散， 从而　　发散． 　　2） 利用1）的结果及等式 可知，积分当且仅当时收敛． 3）时， 不是瑕点，敛散性与2）相同． 例17 证明如下积分收敛： 证 设，积分 其中 ， 由准则知，积分收敛． 三、无穷限的广义积分的收敛性与无穷远处的极限 　　本段讨论收敛与的关系． 1）收敛，一般不意味着 　　如： 收敛 但 ． 2）收敛，且，仍不能断言 　　如： 3）收敛，且，连续，还可能 　　　 如： 　　　收敛． 4）上述条件，将改为，仍然不能肯定 　　 如：　 其中按3）中的同样的方式定义． 5）若单调，收敛，则． 6）若在上一致连续（或更强些，有有界的导数），则收敛，推出． 例18 试证：若在上一致连续，且广义积分 收敛，则． 证 （反证法）若，则 ，时，有． 又在上一致连续， 　，，当时，有 故当时， 并且与同号（因为不然的话，，与（１）式矛盾） 若，则，从而由（2）式知， 故 同理，若，亦有 即 对，，使得 由准则知，发散．矛盾，证毕． 例19 证明：若在上连续可微，和都收敛，则． 证 要证明时，由有极限，根据定理， 只要证明 ：，恒有收敛． 已知积分收敛，据准则 　　，，恒有 ． 如此：，对上述，当时， 有．从而 ． 即收敛．故由定理，存在极限 　　　　　　． 下证．若，则由极限的保号性 ，当时，． 从而时，　 与收敛矛盾． 同理可证：也不可能． 故　　　　　　． 例20 设在上单调减，且收敛． 试证明：　． 证　　由题设．若不然，存在某，使， 则当时，恒有　． 由在上单调减，必有．　 从而发散，与已知结论5）矛盾． 其次，由收敛，据准则知， ，，当时，恒有 ． 故，有 即　　　　　　． 例21 设收敛，在上单调下降， 证明：　． 证 收敛 由准则知，，，当时，恒有 ． 故时， 即 ． 注：．由在上单调减，可推出在上单调减．事实上 　　，由在上单调减 　　　， 而　 即在上单调减． ．由在上单调减，收敛， 可推出　． 练习题 计算　； 2．计算　； 3．设在上可微，且当时，单调增趋于，则和都收敛． 4．证明：． 其中左，右积分存在，且． 5．设是上的非负连续函数，并满足 　（1）在上存在有界导数 （2） 证明：． 3学时 ，绝对收敛 ，条件收敛 必要条件 强调无穷积分与极限问题中准则的应用 5