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数分选讲讲稿5讲.docVIP

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数分选讲讲稿5讲

讲 授 内 容 备 注 第二十五讲 三、级数敛散性的应用 1.收敛性的应用   例24 设.求. 解 将看成级数的通项 因为     所以级数收敛.由收敛的必要条件知:. 类似可证:,. 例25 设.试证:存在. 证 (记)是级数 的部分和.而 所以级数收敛.其部分和序列收敛,存在. 例26 设正项级数收敛.试证:. 证 记,.则 . 利用Abei变换: 从而 . 或 . 例27 试证:若收敛,,. 则,且.   证  因为收敛, 所以,必有  即且 . 所以,即,故.    要证  即要证  .      因为为收敛级数的余和 所以  ,即. 于是,得.  2.发散性的应用 例28 设发散,且是正的不增数列.试证: .   证  因为 所以  从而   因为 发散,所以. 而                  所以     . 由两边夹法则知  . 广义积分作为级数的极限的例子. 例29 设单调函数在时有定义,并且广义积分存在.试证明:    .   证 若,,有                令,两边取极限,得     . 若,考虑,同上证明. §5.2 函数项级数 所谓函数项级数在某区间上收敛,是指它逐点收敛.意即:对于中每固定一点,作为数项级数总是收敛的.因此对收敛性,可用上节数项级数各种判别法进行判断.本节的任务,主要讨论一致收敛性的判断. 一、一致收敛性的判断 方法如下: a) 利用定义 b) 利用准则 c) 常用的几个充分条件:判别法;判别法; 判别法  1.利用定义   方法:  i)要用定义证明在区间上一致收敛,应首先设法求出和函数,写出部分和,然后对,找出与无关的,使得时,有        ii) 时关于,等价于:    ,,及 ,使得 亦等价于:,,使得  “放大法”:若,,使得 且时,.则时,于上.   确界法:时,等价于  ,即 以上结论,对函数列均有相应的结论. 例1 设是内的连续函数, 证明:函数列在任何有限区间上一致收敛.   证 是积分的一个积分和.且连续,该积分有意义 时,   设是任意一个有限区间.要证明时, 于上,即对,当时,对                        因为,所以点与点的距离 又在上一致连续, ,当时,有 故取,当时,有,必有 从而当时,  即在上一致收敛于. 由的任意性,命题得证. 例2 设函数在上有连续的导函数, 证明:在任一有限开区间内一致收敛于. 证 由微分中值定理        因为在上一致连续, ,当时,有        取,当时,(此时),必有 故时,于上. 例3 试证:时,(关于)的充要条件是:,有     (关于).   证 必要性 设时,(关于)   ,当时,有      又,,所以对上述,, 当时,有 从而      此即 (关于).   充分性 假设时,(关于) 则,使得 及 满足     如此得到 ,但(关于) 与已知条件矛盾.命题得证. 例4 若在上可积,,且与在上都可积, 设 则在上一致收敛于. 证                                     所以时,于上. 例5 给定函数序列: 试问当取何值时,在上一致收敛. 解 , 稳定点: 当时,;当时,. 所以,函数在稳定点处取最大值. 极限函数          所以,当且仅当时,在上一致收敛. 例6 试证:在上一致收敛. 证 , 可视为交错级数,且收敛.记和函数为. 其余和      所以,级数在上一致收敛. 例7 讨论级数 在与内的一致收敛性. 解 用判别法知,该级数在内收敛.         当时,      所以原级数在内非一致收敛,在内一致收敛. 例8 设在上可积, 证明:函数序列在上一致收敛于0. 证 在上可积,在上有界. ,使得  从而    一般地,若对有: 则    故 于上,当时. 3学时 与数项级数收敛定义的区别 与数项级数收敛定义的联系与区别 补充函数列 在上一致收敛于极限函数的定义 方法 极限函数 方法 , , 定理的推广 方法

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