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数分选讲讲稿5讲
讲 授 内 容 备 注 第二十五讲
三、级数敛散性的应用
1.收敛性的应用
例24 设.求.
解 将看成级数的通项
因为
所以级数收敛.由收敛的必要条件知:.
类似可证:,.
例25 设.试证:存在.
证 (记)是级数
的部分和.而
所以级数收敛.其部分和序列收敛,存在.
例26 设正项级数收敛.试证:.
证 记,.则 .
利用Abei变换:
从而
.
或 .
例27 试证:若收敛,,.
则,且.
证 因为收敛,
所以,必有
即且 .
所以,即,故.
要证
即要证 .
因为为收敛级数的余和
所以 ,即.
于是,得.
2.发散性的应用
例28 设发散,且是正的不增数列.试证:
.
证 因为
所以
从而
因为 发散,所以.
而
所以 .
由两边夹法则知 .
广义积分作为级数的极限的例子.
例29 设单调函数在时有定义,并且广义积分存在.试证明:
.
证 若,,有
令,两边取极限,得
.
若,考虑,同上证明.
§5.2 函数项级数
所谓函数项级数在某区间上收敛,是指它逐点收敛.意即:对于中每固定一点,作为数项级数总是收敛的.因此对收敛性,可用上节数项级数各种判别法进行判断.本节的任务,主要讨论一致收敛性的判断.
一、一致收敛性的判断
方法如下:
a) 利用定义
b) 利用准则
c) 常用的几个充分条件:判别法;判别法;
判别法
1.利用定义
方法:
i)要用定义证明在区间上一致收敛,应首先设法求出和函数,写出部分和,然后对,找出与无关的,使得时,有
ii) 时关于,等价于:
,,及 ,使得
亦等价于:,,使得
“放大法”:若,,使得
且时,.则时,于上.
确界法:时,等价于
,即
以上结论,对函数列均有相应的结论.
例1 设是内的连续函数,
证明:函数列在任何有限区间上一致收敛.
证 是积分的一个积分和.且连续,该积分有意义
时,
设是任意一个有限区间.要证明时,
于上,即对,当时,对
因为,所以点与点的距离
又在上一致连续,
,当时,有
故取,当时,有,必有
从而当时,
即在上一致收敛于.
由的任意性,命题得证.
例2 设函数在上有连续的导函数,
证明:在任一有限开区间内一致收敛于.
证 由微分中值定理
因为在上一致连续,
,当时,有
取,当时,(此时),必有
故时,于上.
例3 试证:时,(关于)的充要条件是:,有
(关于).
证 必要性 设时,(关于)
,当时,有
又,,所以对上述,,
当时,有
从而
此即 (关于).
充分性 假设时,(关于)
则,使得 及
满足
如此得到 ,但(关于)
与已知条件矛盾.命题得证.
例4 若在上可积,,且与在上都可积,
设
则在上一致收敛于.
证
所以时,于上.
例5 给定函数序列:
试问当取何值时,在上一致收敛.
解 , 稳定点:
当时,;当时,.
所以,函数在稳定点处取最大值.
极限函数
所以,当且仅当时,在上一致收敛.
例6 试证:在上一致收敛.
证 ,
可视为交错级数,且收敛.记和函数为.
其余和
所以,级数在上一致收敛.
例7 讨论级数
在与内的一致收敛性.
解 用判别法知,该级数在内收敛.
当时,
所以原级数在内非一致收敛,在内一致收敛.
例8 设在上可积,
证明:函数序列在上一致收敛于0.
证 在上可积,在上有界.
,使得
从而
一般地,若对有:
则
故 于上,当时.
3学时
与数项级数收敛定义的区别
与数项级数收敛定义的联系与区别
补充函数列
在上一致收敛于极限函数的定义
方法
极限函数
方法
,
,
定理的推广
方法
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