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讲 授 内 容 备 注 第四十一讲 三、积分与路径无关的问题 定理 若，在区域内连续，又连续的一阶偏导数，则当为单连通区域时，以下四条件等价 1) 积分只与起点、终点有关，而与积分路线无关，其中是内逐段光滑曲线； 2) 在内任一逐段光滑曲线上的积分为零； 3) 在内处处成立 ； 4) 为某一函数的全微分 即 ，使得， 　　 　 作为的原函数．若存在，必不唯一．彼此可相差一个任意常数．忽略常数项不计，原函数可以写成 ． 其中是任意取定的点．积分路线可以是内联结与的任一逐段光滑的曲线． 已知的原函数为，则 　　　　． 1．利用与路径无关性计算线积分 若在单连通区域内恒有，则与路线无关，可选特殊路线进行积分．（一般可选择平行于坐标轴的折线） 例14 设表示平面上一条自身不相交的光滑曲线，其起点在，终点在．除起、终点外，全部落在第一象限． 计算积分　　．　这里表示沿的法线方向取导数，法线指向原点所在的那一侧；表示上的变动点到原点的距离； 表示的弧长微分． 解　， 　　　 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　(1) 　　 在第一象限内连续，有连续的偏导数，且 所以积分与路线无关，可选取平行于坐标轴的折线进行积分 　　　　　　 　　　　　 　　　　　． 　2．利用原函数求积分 例15 计算积分 其中是不通过原点，从点到的分段光滑曲线． 解1　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 即是原函数，积分与路线无关． 解2 设 　　 (1)　　 (2) 由(1)知 (3) 由(2)知 (4) 比较(3)、(4)可知 故略去常数项不计 §7．4　曲面积分、Gauss公式及Stokes公式 一、第一型曲面积分的计算 　1．利用对称性 若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上被积函数的绝对值相等，则 ． 所谓的两部分对称，可以是关于点对称，也可以是关于平面对称． 例1 设为奇函数．试求积分 　，　，　 其中为锥面位于球面内的部分． 解　是以原点 为顶点的双叶锥面，对称轴 是平面上1、3象限的 分角线．关于平面上、 下对称，在对称点上 的大小相等，符号相反． 因此积分　　　　　　． 　　又曲面在1、3挂限内的部分与它在7、5挂限内的部分关于原点对称，在对称点上的大小相等，符号相反．因此 ． 　　除了上、下对称，原点对称之外，还关于平面前、后对称，在对称点上的大小相等，符号相同． 因此积分　　　　　　 其中表示位于第一挂限内夹于两平面，之间的部分．　 　2．利用公式计算第一型曲面积分 1）利用直角坐标方程的公式 ① 选取适当的坐标面．如：平面，使得便于求曲面的投影区域； ② 写出曲面相应的直角坐标方程． 　　如：： ③ 求出偏导数．如：，代入公式计算二重积分 ． 注意：这里关键是第一步，选好恰当的投影（坐标）平面，若选 取不当会增加计算上的困难．　 例2 计算积分，其中是曲面被曲面所截取的有限部分． 解 曲面关于，二坐标平面对称．在对称点上被积函数大小相等，符号相同．因此积分等于在第一挂限内的部分上积分的4倍． 由　 ，　　　　　　　　 消去，可知在平面 上的投影区域为第一象限内轴与曲线所围的区域． 　　曲面方程：，即　． 　　，　，　 引用极坐标　　 　　 ． 　　例3　计算锥面　位于球面 内的部分的面积． 解　两曲面的交线 消去，得平面上的投影曲线　． 　　锥面在在平面上的投影区域 　　　　 此时　 ，，　， 　　　 　　 　　　　 　　 ． 2) 利用参数方程的公式 　　若积分曲面可用参数方程给出 ，，， 有连续的偏导数，则有，　， 　　　　　　　　　 则有积分公式 ． 特别，若为球面：，， 则　　　． 例4 计算曲面积分 其中为以原点为中心，为半径的上半球面． 解　上半球面 　　　，， 　　　　　　　　　　　　　　　　　 因此　 　 ． 例5　试求在锥面　 （）内的面积． 解 用球面坐标 　． 二、第二型曲面积分的计算 　1．利用对称性 以为例．若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上被积函数的绝对值相等，则 　　 　 所谓的两部分对称，可以是关于点对称，也可以是关于平面对称． 　2．直角坐标公式 　　　　 分成三个积分 曲面方程 投影区域 在面上的 在面上的 在面上的 二重积分 符号确定 以轴正向为准， 以轴正向为准， 以轴正向为准， 的正侧的法线方向 的正侧的法线方向 的正侧的法线方向 与轴正向成锐角取 与轴正向成锐角取