数学分析教案(华东师大版)函数极限.docVIP

第三章 函数极限 ? 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的定义及其应用。 一、?复习：数列极限的概念、性质等 二、?讲授新课： （一） 时函数的极限： 以 时 和 为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义 ( 和 . ) 几何意义 介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证 …… （二） 时函数 的极限： 由 考虑 时的极限引入. 定义 函数极限的“ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: ? 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证 考虑使 的 2.??单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限 不存在. 例11 设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 二、讲授新课： （一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出. ? 1.? 唯一性: ? 2.? 局部有界性:? 3.??局部保号性: ? 4.??单调性( 不等式性质 ):? Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域 , 使 ，都有 证 设 = ( 现证对 有 ) 註: 若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明. ? 5.?????? 迫敛性: ? 6.?????? 四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”) （二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：? （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.? 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 ( 利用极限 和) 例2 例3 註: 关于 的有理分式当 时的极限. 例4 [ 利用公式 ] 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求和 补充题:已知 求和 ( ) § 3 函数极限存在的条件（4学时） 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则　运用。 教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。 本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 为例. 一.??Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系： Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )? Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70. 例1 证明函数极