数学分析课本(华师大版)习题及答案.docVIP

第七章 实数的完备性 一、练习题 1. 设{(an,bn)}是一严格开区间套,即 a1a2…an…bn…b2b1， 且(bn-an)=0.证明存在唯一一点ξ,有 anξbn,n=1,2… 2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立. 3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理. 4. 试用确界原理证明区间套定理. 5. 设H=是一个无限开区间集,问: (1) H能否覆盖(0,1)? (2) 能否从H中先出有限个开区间覆盖? (3) 能否从H中先出有限个开区间覆盖? 6. 证明: 若x∈[a,b],若x∈(a,b)的聚点;反之,若x为[a,b]的聚点,则x∈[a,b]. 7. 证明:单调数列{xn}若存在聚点,则一定是唯一的,且是{xn}的确界. 8. 试用致密性定理证明单调有界定理. 9. 试用聚点定理证明区间套定理. 10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理. 11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则. 12. 试用确界原理证明聚点定理 13. 设f为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f在(-∞,+∞)上有最大值与最小值. 14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根 15. 设I为有限区间.证明:若f在I上一致连续,则f在I上有界. 16. 证明: 若f在上连续,f(x)存在且有限,则f在上一致连续. 17. 设f在(a,b)内连续,x1,x2,…xn∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得 f(ζ)=. 18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理. 19. 证明:在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限. 20. 求下列数列的上、下极限： （1）{1+（-1）n}； （2）； （3）{2n+1}； （4）； （5）; (6) 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) an=-(-an), an=-(-an); (2) an+bn≤(an+bn); an+bn≥(an+bn) (3) an-bn≤(an-bn), an-bn≥(an-bn); (4) 若an,bn0,则anbn≤anbn, anbn≥anbn; (5) 若an0,则=. 22. 数列{xn}的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么? 23. 证明:若{an}为单调递增数列,则 an=an 24. 证明:若an0(n=1,2,…)且an·=1, 则数列 {an}收敛. 25. 证明: 若an≤bn(n=1,2,…),则 an≤bn, an≤bn. 26. 证明设{xn}为有界数列. (1)为{xn}上极限的充要条件是 ={xk}; (2)A为{xn}下极限的充要条件是 A={xk}. 27. 证明:{xn}为有界数列的充要条件是{xn}的任一子列都存在它的收敛子列. 28. 设f(x)在(a,b)内连续,且f(x)=f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值. 29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{xn}[a,b],且f(xn)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得f(x0)=A. 30. 设函数f和g都在区间I上一致连续. (1) 证明f+g在I上一致连续; (2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续; (3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续. 31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{xn},极限f(xn)都存在,则f(x)在(a,b)上一致连续. 32. 设函数f在上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得[f(x)-bx-c]=0,证明f在上一致连续.