数学分析课本(华师大版)习题及答案十六.docVIP

第十六章 多元函数的极限与连续 证明题 1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{pn}E,p≠p0. Pn=P0时P0是E的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真. 3. 证明:点列{pn(xn,yn)}收敛于p0(x0,y0)的充要条件是xn=x0和yn=y0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E为开集,则Ec为闭集;若E为闭集,则Ec为开集. 5. 证明: (1) 若F1,F2为闭集,则F1∪f2与F1∩F2都为闭集; (2) 若E1,E2为开集,则E1∪E2与E1∩E2都为开集; (3) 若F为闭集,E为开集,则F\F为闭集,E\F为开集. 6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之. 7. 证明定理16.4(有限覆盖定理): 8. 证明: 若1°存在且等于A; 2°当y在b的某邻域内时,存在有,则. 9. 试应用ε-δ定义证明: . 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理. 11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性. 12.设f(x,y)= 试讨论它在(0,0)点的连续性. 13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f对y在[c,d]上处处连续.对x在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f在S上处处连续. 14. 证明:若DR2是有界闭域,f为D上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间. 15. 若一元函数(x)在[a,b]上连续,令 f(x,y)=(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f在D上是否连续?是否一致连续? 16. 设(x,y)=,(x,y)∈D=,证明f在D上不一致连续. 17. 设f在R2上分别对每一自变量x和y是连续的,并且每当固定x时f对y是单调的,证明f是R2上的二元连续函数. 二、计算题 1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。 (1) ; (2) {(x,y)|xy≠0}; (3) {(x,y)|xy=0}; (4) {(x,y)|yx2}; (5) {(x,y)|x2, y2, x+y2}; (6) {(x,y)|xy≥0}; (7) {(x,y)|y=sin, x0}; (8) {(x,y)|x2+y2=1,或y=0, 0≤x≤1}; (9) {(x,y)|x2+y2≤1,或y=0, 1≤x≤2}; (10) {(x,y)|x,y均为整数}. 2. 试问集合{(x,y)|0|x-a|δ,0|y-b|δ}与集合{(x,y)||x-a|δ,|y-b|δ,(x,y)≠(a,b)}是否相同? 3. 求下列各函数的函数值: (1), 求; (2) ,求; (3) f(x,y)=x2+y2 - xytg, 求f(tx, ty) 4. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) (6) ; (7) f(x,y)=ln(y-x); (8) ; (9) ; (10) (Rr) 5. 试求下列极限(包括非正常极限): (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; 6. 讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) . 7. 试写出下列类型极限的精确定义: (1) ; (2) 8. 试求下列极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 9. 试作一函数f(x,y)使当x→+∞,y→+∞时, (1) 两个累计极限存在而重极限不存在; (2)两个累次极限不存在而重极限存在; (3)重极限与累次极限都不存在; (4)重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在. 10. 讨论下列函数的连续性: (1) f(x,y)=tg(x2+y2); (2) f(x,y)=[x+y]; (3) (4) (5) (6) (7) ; (8) . 三、考研复习题 1. 设ER2是有界闭集,d(E)为E的直径,证明:存在p1,p2∈E,使ρ(p1,p2)=d(E). 2. 设f(x,y)=,r=,k1,D1={(x,y)|x≤y≤kx},D2={(x,y)|x0,y0}试分别讨论i=1,2时极限f(x,y)是否存在?为什么? 3. 设,且在(x0,y0)附近有|f(x,y)-|(y)|≤(x),证明f(x,y)=A. 4. 设f是定义在R2上的连续函数, α是任一实数, E={(x,y)|f(x,y)α,(x,y)∈R2} F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R2} 5. 设F在有界开