数学分析教案(华东师大版)定积分.docVIP

第九章 定积分 教学要求： 1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质； 5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点： 1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 3.理解并熟练地应用定积分的性质； 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学时数：14学时 § 1 定积分概念 （2学时） 教学要求： 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 二、不积分的定义: 三、举例: 例1? 已知函数在区间上可积 .用定义求积分. 解 取 等分区间 作为分法 , . 取 .= . 由函数在区间 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2? 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分 . 解 分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 . 例3? 讨论Dirichlet函数 在区间 上的可积性 . 四、小结：指出本讲要点 § 2 Newton — Leibniz 公式（2学时） 教学要求： 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. Th9.1 （ N — L公式 ）( 证 ) 例1求 ⅰ ; ⅱ ; 例2 求 . §3可积条件（4学时） 教学要求： 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件: Th 9.2 ， 在区间 上有界. 二、充要条件: 1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 . 方案: 定义上和 和下和 . 研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. Darboux和: 以下总设函数 在区间 上有界. 并设 ,其中 和 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 . 定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法 唯一确定.分别用 、 和 记相应于分法 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 , 因此有 . 和 的几何意义 . 3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法: 表示 是 的加细 . 性质1 若 , 则 , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 ) 性质2 对任何 , 有 , . 即 : 大和有下界,小和有上界. ( 证 ) 性质3 对任何 和 , 总有 . 即: 小和不会超过大和 . 证 . 性质4 设 是 添加 个新分点的加细. 则有 + , . 证 设 是只在 中第 个区间 内加上一个新分点 所成的分法, 分别设 , , . 显然有 和 . 于是 . 添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次. 即证得第二式.? 可类证第一式. 系 设分法 有 个分点，则对任何分法 ，有 ， . 证 . . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 上有界. 由以上性质2 ，有上界 ， 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记 ,