数学分析课本(华师大版)习题及答案十.docVIP

第二十二章　曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于 V=其中,, 为曲面S的外法线方向余弦. 2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则=0 其中n为曲面S的外法线方向. 3. 证明 公式 = 其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=,, 是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ,其中S为上半球面 = ; (2) ,其中S为主体的边界曲面; (3) ,其中S为柱面被平面Z=0,Z=H所截取的P分; (4) ,其中S为平面在第一卦限中的部分. 2.计算,其中S为圆锥表面的一部分. S: D: 这里θ为常数(0θ). 3.计算下列第二型曲面积分 (1)++,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成的正方体并取处侧为正向; (2),其中S是以原点中心,边长为2的正方体表面并取外侧正向; (3),其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向; (4),其中S是球面,=1的上半部分并取外侧为正向; (5),其中S是球面 ++=R2并取外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2 +z2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=++ 其中S是平行分面体(,,)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) ,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧; (2) ,其中S是立方体x,y,z的表面取外侧; (3) ,其中S为锥面x2+y2 =z2与平面z=h所围的空间区域()的表面方向取外侧; (4) ,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧; (5) ,其中S为上半球面Z=的外侧. 8.应用高斯公式计算三重积分 其中v是由,,与所确定的空间区域. 9.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分 (1)++,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧; (2),其中为=1,x=y所交的椭圆的正向; (3)++,其中L是以A(a,0, 0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA的方向. 10.若L是平面++zcosr－p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求 其中L依正向进行. 11.若r=,计算,,,(n=3) 12.求u=+2xy－4y+2y－4z在点0(0,0,0),A(1, 1,1),B(―1,―1,―1)的梯度,并求梯度为零之点. 13.计算下列向量场A的散度和旋度: (1)A=; (2)A=; (3)A=. 14.流体流速A=求单位时间内穿过球面+ +=1(x1,y0,z0)的流量. 15.设流速A=(c为常数)求环流量 (1)沿圆周=1,z=0; (2)沿圆周=1,z=0. 三、考研复习题 1.证明:若=++,S为包围区域V的同面的外例,则 (1)=; (2)=+ 2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: (1)=; (2)=. 3.设A=S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有 =0.2π,4π. 4.证明公式: =