数学常用定理表.docVIP

以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6 1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3 1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)! 2^(n + 1) 1 + (n + 1)2^n 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2 1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/ (2*4*6*...*(2n+2)) 1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2)) 1/2n = 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) = 1 / sqrt(n+1)? n=1,2... 2^n = n^2 , n=4, 5,... 2^n = 2n + 1, n=3,4,... r^0 + r^1 + ... + r^n 1 / (1 - r), n=0, 0r1 1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n r / (1-r)^2, n=1, 0r1 1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n 2, n=1 (a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) = (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数 注:()用来标记下标 cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 0 1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))其中sin(x/2) != 0 5^n - 1能被4整除 7^n - 1能被6整除 11^n - 6能被5整除 6*7^n - 2*3^n能被4整除 3^n + 7^n - 2能被8整除 n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域 定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k则1 + n/2 =H(2^n) = 1 + n H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n 1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4 欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))?????????????? =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);?????????????? =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk) 在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)若(N%a==0 (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;若(N%a==0 (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1); 若N2, 欧拉函数E(N)必定是偶数若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，