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数学建模方法详解--三种最常用算法 一、层次分析法 层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理 层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍． 1． 递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次． 2． 测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化． 3． 排序原理 层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量 为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T．L．Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度． 假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响，每次取两个因素和，用表示和对的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵 表示，称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵满足： （1） 则称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明阶一致阵有下列性质： ①的秩为1，的唯一非零特征根为； ②的任一列向量都是对应于特征根的特征向量． 如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素对上层因素的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于最大特征根(记作)的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足： （2） 直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时,的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法． 2． 比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用Saaty等人提出的尺度，即的取值范围是及其互反数． 3． 一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内． 若已经给出阶一致阵的特征根是，则阶正互反阵的最大特征根，而当时是一致阵．所以比大得越多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用数值的大小衡量的不一致程度．Saaty将 (3) 定义为一致性指标．时为一致阵；越大的不一致程度越严重．注意到的个特征根之和恰好等于，所以相当于除外其余个特征根的平均值． 为了确定的不一致程度的容许范围，需要找到衡量的一致性指标的标准，又引入所谓随机一致性指标，计算的过程是：对于固定的，随机地构造正互反阵，然后计算的一致性指标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0．58 0．90 1．12 1．24 1．32 1．41 1．45 1．49 1．51 表1 随机一致性指标的数值 表中时，是因为阶的正互反阵总是一致阵． 对于的成对比较阵，将它的一致性指标与同阶（指相同）的随机一致性指标之比称为一致性比率，当 (4) 时认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量． 对于利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的进行修正． 4． 组合权