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数学期中总结报告 ——极限思想方法分析 极限思想概述 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0|x-x。|δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|ε 　那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限　　极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如： 　　（1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。 　　（2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。 　　（3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。 　　（4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。 　　（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等…，由此所构成的数列记为{Cn}。当n越大时，内接正多边形于圆的差异也就越小，当n无限增大时，则Cn无限接近于C。在数学上，我们就把这个精确量，称之为数列{Cn}的极限，记为：Cn——C（当n→∞）。 极限的实质就是无限近似的量，箱有限目标的无限逼近二产生量变到质变的结果，这就是极限的实质与精髓。可见，“已知于未知，有线与无限，近似与精确，直线与曲线，既有差别又有联系，在无限过程中，就可由此达彼。” 2.极限概念中蕴含的思想方法 设一个数列{an}:a1、a2、a3、a4、…an、…，数列{an}极限的描述定义为：如果当n→∞，an→a(an≠a)，则a就是数列{an}的极限。 分析： 当n→∞，是否有an→a，等价于判断︱an→a︱是否趋近于0。要判断 ︱an→a︱是否趋近于0，特引入正数ε。对于任意给定的正数ε在什么条件下使︱an→a︱ε成立？即对于任意给定的正数ε，是否存在一个正整数N,使得对于大于n的所有N恒有︱an→a︱ε？如果这样的N确实存在，我们才能说数列{an}的极限是a，否则，不能称a是{an}的极限。由此分析下面给出数列极限的精确定义： 上述定义反应了人们通过有限的现象去人是无限的思想。An趋于a0的过程是一个无限接近的过程，但就这个过程的没一步来讲，接近又是有限的。 ︱an→a︱趋于0的过程是一个无限变化的过程，这个过程通过正数ε的绝对任意性来反映。但在这个过程任一个阶段，其变小的程度又是有限的，不等式︱an→a︱ε正表达了an与a之间的过程有限接近的程度。ε的任意性是通过无限多个相对固定性表示出来的，其相对固定性深刻反应了极限概念中的精确于近似之间辩证关系。也表明了极限是人们从近似正认识精确的数学方法。 解决问题的极限思想 　极限思想方法是数学分析乃至全部必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。 　　有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。 3