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数据结构——二叉树（c++） 【摘要】现实社会中的树——书籍的目录、任务大纲、家族族谱之类等等。人们要研究就必须能过将树正确的储存，如何存储又关系到实际的操作。树是否为空，在本学期学习的数据结构的教材中允许树为空【1】。因为树表现形式的是一种现实的结构，而0不是自然数。从直观上看树是分支关系定义的层次结构，其中树和二叉树是最常见的【1】。 【关键词】 数据结构；树；二叉树；遍历；探讨空间； 1、二叉树 1.1 二叉树T是有限的结点的集合（允许为空），或者由一个根结点u以及分别称为左子树和右子树的两棵互不相交的二叉树u(1)和u(2)组成。若用n,n1和n2分别表示T，u(1)和u(2)的结点数，则有n=1+n1+n2 。u(1)和u(2)有时分别称为T的第一和第二子树。 在二叉树中，每个结点至多有两个孩子，并且有左、右之分。因此任一结点的孩子不外4种情况：没有孩子；只有一个左孩子；只有一个右孩子；有一个左孩子并且有一个右孩子。（如图1.1） 图1.1 五种基本形态 （其中 □ 表示空） 1.2 二叉树与度数不超过2的树不同，与度数不超过2的有序树也不同。在有序树中，虽然一个结点的孩子之间是有左右次序的，但若该结点只有一个孩子时，就无须区分其左右次序。而在二叉树中，即使是一个孩子也有左右之分。 图1.2a （不同的两颗二叉树） 图1.2b（普通的一棵树） 由图可见：(a)和(b)是两棵不同的二叉树。虽然它们与普通的一棵树(作为无序树或有序树)很相似，但它们却不能等同于这棵普通的树。若将这3棵树均看作是有序树，则它们就是相同的了。所以二叉树和树尽管有很多相似 ，但是二叉树不是树的特殊情形。 所以，二叉树是一种人们假设的一种现象，所以允许为空是无争议的。二叉树是一种有序的树，左边是孩子、右边是兄弟。其实可以看作不同的两棵树。做这个规定，正式因为人们要赋予给孩子兄弟不同的意义。通过这学期的学习发现了一个现象，就是树并没有插入删除操作。对于非线性的树结构，插入删除操作不在一定的法则规定下，是毫无意义的。因此，只有在具体的应用中，才会有插入删除操作。 2、特殊形态的二叉树 2.1满二叉树【1】：一棵高度为h≥0且有2h+1-1个结点的二叉树称为满二叉树。 （如图3.1） 图3.1 （满二叉树） 2.2完全二叉树【1】：若一棵二叉树至多只有最下面的两层结点的度数小于2，并且最下面一层结点都集中在该层的最左边，则称这种二叉树为完全二叉树。 （如图3.2） 图3.2 （完全二叉树） 3、二叉树的遍历以及实现（c++） 3.1二叉树基本上有先序遍历、中序遍历、后序遍历，最开始并不明白为什么有这么多，到了后面才明白，这是不同的应用需要的。例如，删除二叉树，必须先删除左右子树，然后才能删除根节点，这时就要用后序遍历，而判断两个二叉树是否相等，只要子树根节点不同，那么就不等，显然这时要用先序遍历； 3.1.1前序遍历 　 public: 　　 void PreOrder(void (*visit)(T data) = print) { PreOrder(root, visit); } 　　 private: 　　 void PreOrder(BTNode* p, void (*visit)(T data)) 　 　{ 　　 if (p){ visit(p-data); PreOrder(p-left, visit); PreOrder(p-right, visit); } 　　 } 3.1.2中序遍历　　 public: 　 　void InOrder(void (*visit)(T data) = print) { InOrder(root, visit); } 　　 private: 　 　void InOrder(BTNode* p, void (*visit)(T data)) 　 　{ 　 if (p){ InOrder(p-left, visit); visit(p-data); InOrder(p-right, visit); } 　 　} 3.1.3后序遍历 public: void PostOrder(void (*visit)(T data) = print) { PostOrder(root, visit); } private: void PostOrder(BTNode* p, void