数系的扩张.docVIP

数系的扩张 “数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行，这可能与恩格斯著作的长期影响有关。对于数学，今天人们更加认同于如下的说法：　　“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”（《科学技术百科全书》[麦格劳-希尔图书公司]第1卷数学，科学出版社1980，235-236页）；　　 “到1900年，数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了”（ 克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社1979，111页）。　　照此说法，数学就不是“数”学了。然而，数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。既是抽象的又有实在的一面，人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性，另一方面是外界应用的更高的自觉性”，数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”（美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》，叶其孝等译，世界图书出版公司1993），而不再局限于给数学下一个定义。 毕达哥拉斯 　　无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例。从数学发展史看，人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）学派，但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义；从当今教育的知识体系看，学生在初中阶段开始接触无理数，直到大学毕业却仍然不明白无理数的实质含义。历史与现实两者的契合正好说明无理数的两面特征，应用性使得它是常见的数学工具之一，而抽象性又使所有非数学工作者不能真正认识它。 克罗内克 　　数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”（克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社1979，41页）。零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动，这一推测想来不会有问题，人的双手有十指与十进制的广泛使用也当然有密切关系；　　类似于 2+3=5 的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。产生零、负自然数，合称整数；　　加法的重复进行产生了乘法，2×3=6 就是三个2相加。然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数。　　以上过程不论用抽象的数学语言还是通俗语言来描述都容易为人接受，可以说由于计数、测量的需要而扩大了数系。　　最早出现的无理数也与计数、测量有关。乘法的重复进行产生了乘方，23 就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用√2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。　　以下是关于√2不是有理数的一个证明，载于欧几里德《几何原本》，但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作 ：设√2是既约分数p/q，即√2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。　　虽然开方运算可能产生无理数，但仿照上述办法来扩张数系会遇到困难。例如仅用开方定义新的数例如√2，3√2（后来被称为初等无理数）是不够的；(1+√2) 就不能通过对某有理数开方而得，那么(1+√2)是什么？试作一比较，任何有理数总可以乘以某整数而还原成整数，但(1+√2)的任何次乘方却不可能得到有理数。 阿贝尔 　　考虑到此，容易想到的办法是用有理数的加减乘除、乘方、开方定义新的数，后来被称为复合无理数，显然它包含了初等无理数。毕竟扩张数系的动力之一是使代数方程有解，例如(1+√2)的产生使得方程x2-2x-1=0有解。　　但又有新的问题，挪威数学家阿贝尔（Abel，1802-1829）于1825年证明“一般五次方程不能只用根式求解”，紧接着法国数学家伽罗瓦（Galois，1811-1832）解决“方程须有何种性质才可求根式解”的问题，复合无理数立即黯然失色。 伽罗瓦 　　数学家顽强地推进，索性将新的数系定义为所有有理系数方程的根（后来称为代数数），有理数、初等无理数、复合无理数都被包括在内。数系的扩张本来是从现实需要出发的问题，但现在已经开始变得抽象了，因为代数数中那些不是有理数、初等无理数、复合无理数的“数”究竟什么样子？这不仅不能回答，似乎也并不重要，重要的是这样的“数”确实存在。　　不得不面对的烦恼是，一个代数数的描述与运算都必须通过相关的代数方程的