数项数收散性判别法.docVIP

华 北 水 利 水 电 大 学 数项级数的证明方法及应用 课程名称： 高等数学（2） 专业班级： 农业水利工程 （16）班 成员组成： 李林 201201614 元奇 201201601 冯冰洋 201201605 联系方式： 2013年6月7日 数项级数收敛性判别法 作 者：李林 元奇 冯冰洋 指导老师：王田利 摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，在参考文献的基础上新增了一些命题和应用，从而得到一般的解题思路． 关键词：数项级数；收敛性；判别法；归纳总结；解题思路 一 ，引言 数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要内容．本文对数项级数敛散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和绝对收敛级数．其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等．而构造高精度正项级数收敛性判别法，实质是找到一个收敛速度足够慢的正项级数．但值得注意的是这个＂精确化＂的过程是没有尽头的，因为杜·布洼·雷知恩曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更＂快＂的级数存在．还有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更＂慢＂的级数存在．这说明没有收敛的最快的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的．本文就这一问题进行了深入研究，提出了不断提高精度的判别方法． 一般项级数中主要讨论了交错级数和绝对收敛级数，本文归纳总结了它们常见的性质及应用．从而丰富了数项级数收敛性的判别方法． 1　数项级数相关概念 1.1　数项级数及定义 定义1　给定一个数列，对它的各项依次用＂＂号连接起来的表达式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1） 称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为级数（1）的第项或通项． 数项级数（1）也常写作：或简单写作． 数项级数（1）的前项的和为，即 或，称为级数的项部分和． 　　定义２　若数项级数（1）的部分和数列收敛于(即)，则称数项级数（1）收敛,称为数项级数(1)的和,记作或；若是发散数列，则称数项级数（1）发散． 例1　设收敛，．证明：. 证　记级数 的前项和．则 ． 从而　， 即　　　　　　　　　　． 1.2　数项级数敛散性判别的充要条件 定理（级数收敛的柯西准则） 级数（１）收敛的充要条件：，当时，对有： ． 根据定理，我们立刻可以写出级数（1）发散的充要条件：，和有： ． （２） 由定理立即可以得出如下推论，它是级数收敛的一个必要而非充分条件． 推论　若级数（1）收敛，则． 注：在实际应用中，我们常常先考虑推论的逆否命题从而来判断该级数是否发散． 例2　设正项级数发散，其前项和记为，试证级数也是发散的． 　　证　. 因为，故对，当充分大时有，从而，所以级数发散． 命题　设数项级数的部分和数列为，，则 1）若或，则　； 2）设， ， 则 a)若（）收敛于,则； b)若收敛于，则． 例3 讨论级数的敛散性． 解　由于，设 为收敛，故由命题知原级数也收敛． 2　正项级数 2.1　正项级数及定义 设有数项级数，若数项级数各项的符号都相同，称它为同号级数．其中，若各项均为正数，则称它为正项级数． 2.2　正项级数敛散性的一般判别原则 　　定理1　正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界． 注：定理1解决了一类级数的收敛问题,不必研究，只需粗略地估计当时是否保持有界就可以了，它是判断正项级数敛散性的最基本方法，几乎所有判别法都是由它导出，但是在具体应用时不大方便． 定理2　设两个正项级数与，，有，是正常数． 1）若级数收敛，则级数也收敛； 2）若级数发散，则级数也发散． 推论　设两个正项级数与，且 ． 1）若级数收敛，且，则级数也收敛； 若级数发散，且，则级数也发散． 例4　设收敛，证明：收敛（）． 证　　因为 ， 易知：收敛（积分判别法），又收敛，所以 收敛．由比较原则知收敛． 总结　1）比较原则重在＂比较＂，是利用两个正项级数的通项结构来比较．必须掌握等比级数，调和级数，p-级数的敛散性，因为比较原则的比较对象常常就是上述三种级数； 2）要证明某一个级数收敛，需要找一个通项比大的收敛的整形级数，即，也就是需要将所求的级数通项级数项放大； 3）要证明某一个级数发散，需要找一个通项比小的发散的正项级数，即，也就是需要将所求的级数通项缩小； 4）判断正项级数敛散性的一般步骤： (ⅰ) 检查通项：若，可判断级数发散．否则进入(ⅱ)． (ⅱ) 用比较原则．若 或极限不存在，则入(ⅲ)． (