斯托克斯公式环流量旋度.docVIP

第七节 斯托克斯公式、环流量、旋度 教学目的：了解斯托克斯公式、环流量和旋度的概念 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学时间：1课时 教学内容： 一、斯托克斯公式 定理1 设(为分段光滑的空间有向闭曲线( (是以(为边界的分片光滑的有向曲面( (的正向与( 的侧符合右手规则( 函数P(x( y( z)、Q(x( y( z)、R(x( y( z)在曲面((连同边界)上具有一阶连续偏导数( 则有 ( 证明(略). 说明：(1)为便于记忆,利用三阶行列式记号将斯托克斯公式写成 (2)由两类曲面间关系，斯托克斯公式另一形式 其中n((cos( ( cos( ( cos()(的单位法向量( (3)若是面上的闭区域，则斯托克斯公式成为格林公式, 因此格林公式为斯托克斯公式的特例 例1 计算为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则 解 设(为闭曲线(所围成的三角形平面( (在yOzzOx面和xOy面上的投影区域分别为 Dyz、Dzx和Dxy (令 ， 图10-7-1 按斯托克斯公式( 有 又由于对称性( 上式右端等于 所以有　　　　　 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 ( 其中(是用平面截立方体( 0(x(1( 0(y(1( 0(z(1的 表面所得的截痕( 若从x轴的正向看去取逆时针方向( 解 取(为平面的上侧被(所围成的部分( (的单位法向量( 即( 按斯托克斯公式( 有 ( ( 其中Dxy为(在xOy平面上的投影区域( 于是 ( 二、环流量与旋度 1．旋度( 由向量场A((P(x( y( z)( Q(x( y( z)( R(x( y( z))所确定的向量场 称为向量场A的旋度( 记为rotA( 即 ( 旋度的记忆法( ( 斯托克斯公式的另一形式( ( 或 其中n是曲面(上点(x( y( z)处的单位法向量( (是(的正向边界曲线(上点(x( y( z)处的单位切向量( ２．环流量 沿有向闭曲线(的曲线积分 叫做向量场A沿有向闭曲线(的环流量( 斯托克斯公式可以叙述为：向量场A沿有向闭曲线( 的环流量等于向量场A的旋度场通过(所张的曲面(的通量( 小结与思考： 1．斯托克斯公式 ( ＝＝ 其中n((cos( ( cos( ( cos()(的单位法向量( 2．环流量和旋度 向量场A沿有向闭曲线(的环流量为 向量场A的旋度( 作业：练习册10.7 2