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§4.3 旋转曲面 1．一般的旋转曲面方程 定义4.3.1 在空间，一条曲线( 绕一定直线l旋转一周所产生的曲面S叫做旋转曲面（或回转曲面）. ( 叫做S的母线，l称为S的的旋转轴，简称为轴. 设为旋转曲面S的母线(上的任一点，在( 绕轴l旋转时，也绕l旋转而形成一个圆，称其为S的纬圆、纬线或平行圆. 以l为边界的半平面与S的交线称为S的经线. S的纬圆实际上是过母线( 上的点且垂直于轴l的平面与S的交线. S的所有纬圆构成整个S. S的所有经线的形状相同，且都可以作为S的母线，而母线不一定是经线. 这里因为母线不一定为平面曲线，而经线为平面曲线. 在直角坐标系下，设旋转曲面S的母线为 (： (1) 旋转轴为 l (2) 这里为l上一点，X，Y，Z为l的方向数. 设M1 (x1，y1，z1) 为母线( 上的任意点，过M1的纬圆总可看成过且垂直于轴l的平面与以P0为中心，为半径的球面的交线. 故过M1的纬圆的方程为 (3) (4) 当M1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的. 由于M1 (x1，y1，z1) 在母线( 上，有 (5) 从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x1，y1，z1得一个方程 F (x，y，z) = 0 即为S的方程. 例1 求直线( ：绕直线旋转所得的旋转曲面S的方程. 解 设M1 (x1，y1，z1) 为母线( 上的任一点，因旋转轴过原点，过M1的纬圆方程为 (7) 因M1在母线上，有 (8) 由（8）得 (9) 将(9)代入(7)得 ， 且 最后得 即S的方程是 . 2．坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程 任一旋转曲面总可以看作是由其一条经线绕旋转轴旋转而生成的. 故今后为了方便，总是取旋转曲面的一条经线作为母线. 更进一步，在直角坐标系下导出旋转曲面的方程时，我们常把母线所在的平面取作坐标平面，从而使旋转曲面的方程具有特殊的形式. 设旋转曲面S的母线为yOz平面上的曲线 旋转轴为y轴 设M1(0，y1，z1)为母线上任一点，则过M1的纬圆为 且有 由以上两个方程组消可得，最后得旋转曲面的方程是 实际上，此旋转曲面的方程也可由前面的图直接得出. 设M1(0，y1，z1)为母线上任一点，M(x，y，z)为过M1的纬圆上的任意一点，则由上图中的辅助图可知 y1 = y， z1 = ±|OM1| =±|OM| =± (10) 因M1(0，y1，z1)在母线上，F(y1，z1) = 0，将(10)的结果代入，就得所求的旋转曲面的方程为. 类似地，母线为，旋转轴为轴的旋转曲面的方程为：. 对于其它坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可类似求出. 于是我们得到如下的规律： 当坐标平面上的曲线( 绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，所得旋转曲面的方程可根据下面的方法直接写出：保持方程的形式不变，将曲线( 在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变，而以其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标. 例如，S为由面上的绕轴所得，则S的方程为. 例2 让椭圆分别绕其长轴（x轴）和短轴（y轴）旋转，所得旋转曲面方程分别是： 和 图形分别叫做长形旋转椭球面和扁形旋转椭球面，如下图. 例5 将圆 绕z轴旋转，所得旋转曲面方程是： 化简整理得 此曲面叫环面，如下图所示，其形状象救生圈. 作业：P155 1～3 －53－