曲率圆.docVIP

曲率圆 函数y=f(x)的曲率，曲率半径：， 那在的曲率半径是：， 而y=f(x)在的切线斜率为，故曲率圆在上半径斜率是：， 所以曲率圆在上半径的直线方程是：， 而设曲率圆的圆心是，满足：， 此时解得的x有两个值，对比图像我们可以知道x和x有两种关系：， 而0，故与的大小就是由与的符号决定。 对比y=f(x)与曲率圆在附近的图像，我们分四种情况讨论：Ⅰ.,此时图像如下： 此时从图上可以看出，又因为，即 如果要，则：。 Ⅱ.,此时图像如下： 此时从图上可以看出，又因为，即 如果要，则：。 Ⅲ.,此时图像如下： 此时从图上可以看出，又因为，即 如果要，则：。 Ⅳ.,此时图像如下： 此时从图上可以看出，又因为，即 如果要，则：。 综上所述：。 故由方程解出的圆心坐标： 所以曲率的方程为： 在这里都是常数。 结论：假设y=f(x)在点的曲率圆的方程用函数表示：y=g(x)，那么必然有、、 （1）将x=带入曲率圆方程得到y= （2）对求一阶导数得： 再将带入上述方程，化简可以得到： （3）对求二阶导数得： 将带入化简得： 注：在的讨论中另一个结果是： 我们把这个结果带入上述过程中就可以知道这样求出的圆是和曲率圆外切等大的圆，对这个圆来说刚好是、、 对这个结论我们也可以这样理解：曲率圆和函数y=f(x)在x=附近的图像是近似重合，故其函数值、一阶导数、二阶导数自然也就会相等了。当然，对这个问题我们进行拓展可以将其扩展至三维空间，其结果就是空间曲面的曲率球面相切。