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3.5 曲率的概念及计算公式 3.5.1 概念 来源：为了平衡曲线的弯曲程度。 平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。 例：对于圆，。所以：圆周的曲率为，是常数。 而直线上，所以，即直线“不弯曲”。 对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。 3.5.2 计算公式的推导： 由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218） 因为，所以。 令，同时用代替得 所以或 具体表示； 1、时， 2、时， 3、时，（令） 再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。 下面将与ds代入公式中： ，即为曲率的计算公式。 3.5.3 曲率半径： 一般称为曲线在某一点的曲率半径。 几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。 应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（T5-30） 解：由于： 所以：， §3 平面曲线的弧长与曲率 教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式． (1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． (2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式． 教学建议： (1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式． (2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式． 教学过程： 一、曲线弧长的概念 设平面曲线，在其上从到依次取分点得曲线的一个分割： 用线段联结相邻的点得：。记 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1 对于平面曲线的无论怎样的分割，若极限 存在，则称曲线是可求长的，并称为曲线的弧长。 二、参数形曲线的弧长的计算公式 定义2 设平面曲线若与在上连续可微，且与不同时为零，则称为一条光滑曲线。 定理1 设平面曲线为一光滑曲线，则是可求长的，且弧长为 证： 对作任意分割： ，并设分别对应与，且于是与对应地得到区间的一个分割在上应用微分中值定理得 从而有 由为一光滑曲线知，与是等价的。又由在上连续从而可积，因此由定义1，只需证明 （*） 记则有 由三角不等式易证 又因在上连续，从而一致连续，故当时，只要，就有 于是有 由此及（*）式知，所证公式成立。 例1、求摆线一拱的弧长。 解： 由公式 得 = 三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式 若曲线：，则当在上连续可微时，此曲线为一光滑曲线，它的弧长公式为 例2、求悬链线从到一段的弧长。 解： 由公式得 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式 设曲线：将其化为参数形： 当在上连续，且与不同时为零时，此极坐标曲线是一光滑曲线，其弧长的计算公式为 例3、求心形线的周长。 解： 由公式得 注意：若定理1中公式的上限改为变量，则有 由于被积函数 连续，所以有 = 后式称为弧微分。 1.y=c(c为常数) y=0 2.y=x^n y=nx^(n-1) 3.y=a^x y=a^xlna y=e^x y=e^x 4.y=logax y=logae/x y=lnx y=1/x 5.y=sinx y=cosx 6.y=cosx y=-sinx 7.y=tanx y=1/cos^2x 8.y=cotx y=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y=1/√1-x^2 10.y=arccosx y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y=1/1+x^2 12.y=arccotx y=-1/1+x^2