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曲率线坐标网下曲面上个基本形式关系的证明
曲面上三个基本形式的关系的证明方法
设曲面是类的正则曲面.曲面上一点处的单位法向量为.
令，
称为曲面的第三类基本量.用表示曲面的第三基本形式：
.
曲面第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.
5 曲率线网为坐标网下曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明
定理2.4.1 曲面的三个基本形式之间存在的关系：
证明
取曲率线网为坐标网，则有；
，。
，
则有 。
， 。
将基本量代入，
，
因为所以，
从而共面，共面，
设，则有；
设，则有 .
于是
，
，
，
，
故成立 。
曲率线网为坐标网下曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明
取曲率线网为坐标网，则有，此时坐标网为曲率线，故为主方向，对应的主曲率分别为，
由主方向判别定理，，其中为主曲率，
因此，
得 ，
，
，
所以,
同时， ，
,
因而，
于是
，
其中为平均曲率，为高斯曲率，
故成立 。
参考文献：
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