曲面上的短程线.docVIP

第二章 曲面论 第七节 曲面上的短程线 给定曲面，设是曲面上的两点，在曲面上连接两点的曲线中，弧长最小的曲线，称为曲面上连结的短程线。 设是曲面上的一条曲线， 如果对上的任何两点，曲线在两点间的部分都是曲面上连结的短程线，则称是曲面上的一条短程线。 若曲面上有直线，则曲面上的直线是曲面上的一条短程线。 问题：如何寻找曲面上的短程线。 下面，我们寻找曲面上的曲线是短程线的必要条件。 给定曲面 ， 设具有二阶连续偏导数。 为了书写方便，对曲面我们引入新的参数表示。 令， 则曲面的参数方程为 。 记； ， ； ， 则有， ； 。 设是曲面上的两点 设曲面上连的曲线弧段，其参数方程为 ； ，为定值， 这里是该曲线的弧长参数。 曲线弧长为 ， ， 其中 。 设曲面上连的曲线弧段， 其参数方程为 其中， 且，。 曲线弧长为 ， 假若是短程线， 则在处达到极小值， 于是， 即 ， 或， 根据分部积分，得 ， 再利用边界条件，， 因此有 ， 于是得 ， 因为上式是对任意，，都成立， 于是得到欧拉（Euler）方程 ，。 由于 ， ， ， （）； ， ， 于是欧拉（Euler）方程可简化为 ， ， 即， 。 这就是曲面上的短程线方程。 （当然这是短程线必要条件）。 例 设曲面的第一基本形式为 ， 求证：（1）--曲线是测地线； （2）--曲线为测地线， 当且仅当。 证明 令， 则 曲面的第一基本形式为 则有 ， 测地线的方程为 ， ， 换回记号，则为 ， 由于--曲线即为； 由于--曲线即为。 例 球面 。 第一基本量 ， ， ， 第一基本形式为 ， --曲线为测地线，即经线为测地线，球面上的大圆都是测地线。 例 正螺面 的第一基本形式为 ， ， 所以--曲线是测地线。 测地线的方程为 ， 。 定理 曲面上短程线的测地曲率为零。 定理 曲面上连结两点弧长最短的曲线的测地曲率为零，即一定是测地线. 证明 设曲面：， 设是曲面上的两点。 设曲面上连的曲线弧段，其参数方程为 ； ，为定值， 这里是该曲线的弧长参数。 ： 。 以表示曲线上的单位切向量；设是曲面上的法向量， 命 ，则是彼此正交的单位向量，并且构成一右手系。 下面先推导弧长的第一变分公式. 让曲线 在曲面 上作保持两个端点的连续变动, 得到曲面上一族曲线 , 它们的参数方程为 ： ， 这里 是曲线族参数, 时的曲线正好就是曲线 ; 是曲线的参数. 曲线族称为曲线 的一个变分. 当我们固定参数 , 而变动时, 就得到了曲面上另一族曲线, 它的切向量为，所以是曲面沿曲线 的一个向量场, 于是我们令 其中是沿曲线 定义的两个光滑函数. 由于曲线 的连续变动的任意性,导致函数 的任意性. 这一点将在下面会被用到. 设是曲线的长度, 我们有 ， ， 由于 ， ， 代入上式继续计算得到 ， 又因为在 处, =常向量, 所以，； 于是， 至此我们得到了弧长的第一变分公式为 ， 现在, 设曲线 是连结两点P;Q的长度最短的曲线, 则， 于是， 对任意。 故有 ，即曲线为测地线. 注意, 定理 只说明最短连线是测地线, 这并不意味测地线一定是最短连线。 13