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第三章 曲面的局部理论 §3.1 曲面的概念 1 曲面的方程 ①向量式方程 在中Descartes直角坐标系 O-xyz 下， 取单位正交向量 i , j,k为基向量．给定三个二元函数 x(u,v), y(u,v),z(u,v) ( 作向量值函数 r: D( (u,v)( r(u,v) ( x(u,v)i + y(u,v)j+z(u,v) k( (x(u,v), y(u,v),z(u,v)) ， 则其位置向量终点全体 C ( {(x, y,z))(((u,v)(D} 称为中一光滑曲面。 简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数； 曲面也可写为分量形式的参数方程 例3.1.1：球面的表达式： 或者 例3.1.2：圆柱面的表达式： 例3.1.3：正螺面的表达式： ②中曲面的一般式(简单介绍) 方程F(x,y,z)=0在直角坐标系O-xyz表示的图像也是一曲面。若可写成z=f(x,y). 这时曲线的向量表达式为r(x,y)=(x,y,f(x,y)) ③ 正则曲面 是光滑曲面，若满足 则称曲面是正则曲面。 2 曲面的参数变换 先比较曲面S: 和 以及 显然和都表示整个圆柱面，表示半圆柱面，。 在内 取参数和之间的变换 显然和是一一对应的。而且 这时在内， 和可以统一表示成 而 知两曲面正则性也一致。 我们称参数和之间的变换 为同一曲面之间的参数变换。 定义：设是一一对应，而且满足，则我们称是曲面S： 和曲面： 的一个参数变换。 3 曲面的切平面和法方向。 ①曲面上的曲线。曲面S：上的曲线总可以写成 注： 对任意t， 总存在与之对应，故是的函数。 特别：当常数，对应的曲线称为曲线。 当常数，对应的曲线称为曲线。 曲线和曲线统称坐标曲线。 例3.1.4：曲面的两坐标曲线是？ 例3.1.5：曲面的两坐标曲线是？ 例3.1.6：曲线的切向量为 ，曲线的切向量为 ②曲面的切向量 若过曲面点，称在点的切向量为曲面在点的一个切向量。 由可以看出，曲面上任意一切向量可以由该点的坐标曲线的切向量线性表出。故曲面在一点所有切向量是共面的。 ③切平面和法向量 切平面：曲面在一点由该点的张成的平面称为曲面在该点的切平面。 显然曲面在P的切平面的方程： 法向量：曲面在一点与该点的切平面垂直的向量称为法向量，过该点与法向量平行的直线称为法线。 单位法向量 法线方程： 切平面和法向量与参数变换的关系。 设是曲面的另一参数， 显然： 故法方向是由Jacobi行列式的符号决定的。但在参数变换下始终保持平行。故切平面在参数变换下不变。 例3.1.7：求曲面在点的切平面和法线。 例3.1.8: 求曲面的单位法向量。 是曲面S上任一曲线，其切向量 又，即 故与正交。由曲线的任意性知，是法向量。 故 练习：求的单位法向量。 ④ 自然标架 对 称为点P处的自然标架。显然它一般不正交。 验证旋转面的自然标架一定是正交的。 §3.2 第一基本形式 曲面上曲线的弧长与第一基本形式 若 我们知道的弧长微元 又 故 令称为第一基本量。 称 为第一基本形式。 显然曲线，的弧长为 关于第一基本形式的注记： ※ 为一正定二次型。 这是因为 坐标曲线夹角余弦为, 故坐标曲线正交 例3.2.1：求的第一基本形式。 例3.2.2：若曲面的第一基本形式为I= 求曲面上曲线u=从 。 例3.2.3：求曲面坐标曲线的夹角。 第一基本形式与参数变换。 定理3.2.1：I在参数变换下不变。 证明：设是曲面的另一组参数。现比较和的关系。 令 ==， 即= === 定理3.2.2：I在合同变换下不变。 证明：设为合同变换。 显然第一基本量也在合同变换下不变 例如： §3.3 第二基本形式 1 曲面在一点的展开与第二基本形式 将曲面沿曲线在展开 令 记 当时 令 称为曲面的第二基本形式。 又，故 关于第二基本形式的注记 显然 同样 例3.3.1：计算的第二基本形式。 例3.3.2：计算在处的第二基本形式。 II的几何意义 令 ，现考察的符号与曲面形状的关系。 考虑高度函数 显然 故是的临界点。 又因为在的Hessian阵为： 当时 正定(